小学数学知识点总结。
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小学数学知识点总结
1
归一问题
【含义】
在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】
总量份数=1份数量
1份数量所占份数=所求几份的数量
另一总量(总量份数)=所求份数
【解题思路和方法】
先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1
买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?
解
(1)买1支铅笔多少钱?0.65=0.12(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)
列成综合算式0.6516=0.1216=1.92(元)
答：需要1.92元。
例2
3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?
解
(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?9033=10(公顷)
(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?1056=300(公顷)
列成综合算式903356=1030=300(公顷)
答：5台拖拉机6天耕地300公顷。
例3
5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次?
解
(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?10054=5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?57=35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?10535=3(次)
列成综合算式105(100547)=3(次)
答：需要运3次。
2
归总问题
【含义】
解题时，常常先找出总数量，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓总数量是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】
1份数量份数=总量
总量1份数量=份数
总量另一份数=另一每份数量
【解题思路和方法】
先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1
服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套?
解
(1)这批布总共有多少米?3.2791=2531.2(米)
(2)现在可以做多少套?2531.22.8=904(套)
列成综合算式3.27912.8=904(套)
答：现在可以做904套。
例2
小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》?
解
(1)《红岩》这本书总共多少页?2412=288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》?28836=8(天)
列成综合算式241236=8(天)
答：小明8天可以读完《红岩》。
例3
食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天?
解
(1)这批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)
列成综合算式5030(50+10)=150060=25(天)
答：这批蔬菜可以吃25天。
3
和差问题
【含义】
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】
大数=(和+差)2
小数=(和-差)2
【解题思路和方法】
简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
例1
甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?
解
甲班人数=(98+6)2=52(人)
乙班人数=(98-6)2=46(人)
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2
长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
解
长=(18+2)2=10(厘米)
宽=(18-2)2=8(厘米)
长方形的面积=108=80(平方厘米)
答：长方形的面积为80平方厘米。
例3
有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解
甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量=(22+2)2=12(千克)
丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)
乙袋化肥重量=32-12=20(千克)
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐?
解
从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(142+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+142+3)2=64(筐)
乙车筐数=97-64=33(筐)
答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
4
和倍问题
【含义】
已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】
总和(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?248(3+1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?623=186(棵)
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
例2
东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨?
解
(1)西库存粮数=480(1.4+1)=200(吨)
(2)东库存粮数=480-200=280(吨)
答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3
甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?
解
每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
(52+32)(2+1)=28(辆)
所求天数为(52-28)(28-24)=6(天)
答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4
甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少?
解
乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍;
又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍;
这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，
甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28
乙数=282-4=52
丙数=283+6=90
答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
5
差倍问题
【含义】
已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】
两个数的差(几倍-1)=较小的数
较小的数几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?124(3-1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?623=186(棵)
答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
例2
爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁?
解
(1)儿子年龄=27(4-1)=9(岁)
(2)爸爸年龄=94=36(岁)
答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3
商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元?
解
如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此
上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)
本月盈利=18+30=48(万元)
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4
粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?
解
由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此
剩下的小麦数量=(138-94)(3-1)=22(吨)
运出的小麦数量=94-22=72(吨)
运粮的天数=729=8(天)
答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6
倍比问题
【含义】
有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】
总量一个数量=倍数
另一个数量倍数=另一总量
【解题思路和方法】
先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1
100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?
解
(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)
列成综合算式40(3700100)=1480(千克)
答：可以榨油1480千克。
例2
今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?
解
(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)
(2)共植树多少棵?400160=64000(棵)
列成综合算式400(48000300)=64000(棵)
答：全县48000名师生共植树64000棵。
例3
凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?
解
(1)800亩是4亩的几倍?8004=200(倍)
(2)800亩收入多少元?11111200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?16000800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?222220020=44444000(元)
答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。
7
相遇问题
【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】
相遇时间=总路程(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)相遇时间
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1
南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇?
解
392(28+21)=8(小时)
答：经过8小时两船相遇。
例2
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解
第二次相遇可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为4002
相遇时间=(4002)(5+3)=100(秒)
答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解
两人在距中点3千米处相遇是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，
相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)3=84(千米)
答：两地距离是84千米。
8
追及问题
【含义】
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间=追及路程(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)追及时间
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?
解
(1)劣马先走12天能走多少千米?7512=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)
列成综合算式7512(120-75)=90045=20(天)
答：好马20天能追上劣马。
例2
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40(500200)]秒，所以小亮的速度是
(500-200)[40(500200)]
=300100=3(米)
答：小亮的速度是每秒3米。
例3
我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?
解
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10(22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间=[10(22-6)+60](30-10)
=22020=11(小时)
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4
一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为162(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)
列成综合算式(48+40)[162(48-40)]
=884
=352(千米)
答：甲乙两站的距离是352千米。
9
植树问题
【含义】
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】
线形植树棵数=距离棵距+1
环形植树棵数=距离棵距
方形植树棵数=距离棵距-4
三角形植树棵数=距离棵距-3
面积植树棵数=面积(棵距行距)
【解题思路和方法】
先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1
一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?
解
1362+1=68+1=69(棵)
答：一共要栽69棵垂柳。
例2
一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?
解
4004=100(棵)
答：一共能栽100棵白杨树。
例3
一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?
解
22048-4=110-4=106(个)
答：一共可以安装106个照明灯。
例4
给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?
解
96(0.60.4)=960.24=400(块)
答：至少需要400块地板砖。
例5
一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?
解
(1)桥的一边有多少个电杆?50050+1=11(个)
(2)桥的两边有多少个电杆?112=22(个)
(3)大桥两边可安装多少盏路灯?222=44(盏)
答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10
年龄问题
【含义】
这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住年龄差不变这个特点。
【解题思路和方法】
可以利用差倍问题的解题思路和方法。
例1
爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?
解
355=7(倍)
(35+1)(5+1)=6(倍)
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2
母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?
解
(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)
(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30(4-1)-7=3(年)
列成综合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)
答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例3
甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁。求甲乙现在的岁数各是多少?
解
这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一年 今年 将来某一年
甲 □岁 △岁 61岁
乙 4岁 □岁 △岁
表中两个□表示同一个数，两个△表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为(61-4)3=19(岁)
甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)
乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)
答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11
行船问题
【含义】
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】
(顺水速度+逆水速度)2=船速
(顺水速度-逆水速度)2=水速
顺水速=船速2-逆水速=逆水速+水速2
逆水速=船速2-顺水速=顺水速-水速2
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1
一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?
解
由条件知，顺水速=船速+水速=3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时3208-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320xx=32(小时)
答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2
甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间?
解
由题意得甲船速+水速=36010=36
甲船速-水速=36018=20
可见(36-20)相当于水速的2倍，
所以，水速为每小时(36-20)2=8(千米)
又因为，乙船速-水速=36015，
所以，乙船速为36015+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以，乙船顺水航行360千米需要
36040=9(小时)
答：乙船返回原地需要9小时。
12
列车问题
【含义】
这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】
火车过桥：过桥时间=(车长+桥长)车速
火车追及：追及时间=(甲车长+乙车长+距离)
(甲车速-乙车速)
火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)
(甲车速+乙车速)
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1
一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?
解
火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
(1)火车3分钟行多少米?9003=2700(米)
(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)
列成综合算式9003-2400=300(米)
答：这列火车长300米。
例2
一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米?
解
火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为
8125-200=800(米)
答：大桥的长度是800米。
例3
一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间?
解
从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为
(225+140)(22-17)=73(秒)
答：需要73秒。
例4
一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间?
解
如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
150(22+3)=6(秒)
答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
13
时钟问题
【含义】
就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】
分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】
变通为追及问题后可以直接利用公式。
例1
从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?
解
钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以
分针追上时针的时间为20(1-1/12)22(分)
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2
四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?
解
钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(54)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(54-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(54+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。
(54-15)(1-1/12)6(分)
(54+15)(1-1/12)38(分)
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3
六点与七点之间什么时候时针与分针重合?
解
六点整的时候，分针在时针后(56)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
(56)(1-1/12)33(分)
答：6点33分的时候分针与时针重合。
14
盈亏问题
【含义】
根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】
一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数=(盈+亏)分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数=(大盈-小盈)分配差
参加分配总人数=(大亏-小亏)分配差
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1
给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?
解
按照参加分配的总人数=(盈+亏)分配差的数量关系：
(1)有小朋友多少人?(11+1)(4-3)=12(人)
(2)有多少个苹果?312+11=47(个)
答：有小朋友12人，有47个苹果。
例2
修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?
解
题中原定完成任务的天数，就相当于参加分配的总人数，按照参加分配的总人数=(大亏-小亏)分配差的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
(2608-3004)(300-260)=22(天)
这条路全长为300(22+4)=7800(米)
答：这条路全长7800米。
例3
学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?
解
本题中的车辆数就相当于参加分配的总人数，于是就有
(1)有多少车?(30-0)(45-40)=6(辆)
(2)有多少人?406+30=270(人)
答：有6辆车，有270人。
15
工程问题
【含义】
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出一项工程、一块土地、一条水渠、一件工作等，在解题时，常常用单位1表示工作总量。
【数量关系】
解答工程问题的关键是把工作总量看作1，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率工作时间
工作时间=工作量工作效率
工作时间=总工作量(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】
变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1
一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?
解
题中的一项工程是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位1。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)
答：两队合做需要6天完成。
例2
一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?
解一
设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1(1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24[1(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7(1/6-1/8)=168(个)
答：这批零件共有168个。
解二
上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以，这批零件共有241/7=168(个)
例3
一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?
解
必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
6012=56010=66015=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
(60-52)(6+4)=5(小时)
答：还需要5小时才能完成。
例4
一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?
解：
注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(145)，2个进水管15小时注水量为(1215)，从而可知
每小时的排水量为(1215-145)(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为145-15=15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为12，
所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管?(15+12)(12)
=8.59(个)
答：至少需要9个进水管。
16
正反比例问题
【含义】
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】
解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1
修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?
解
由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300(4-3)12=3600(米)
答：这条公路总长3600米。
例2
张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题?
解
做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
28X=914X=91428X=13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3
孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完?
解
书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有24∶36=X∶15
36X=2415X=10
答：10天就可以看完。
17
按比例分配问题
【含义】
所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】
从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和
【解题思路和方法】
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1
学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?
解
总份数为47+48+45=140
一班植树56047/140=188(棵)
二班植树56048/140=192(棵)
三班植树56045/140=180(棵)
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2
用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?
解
3+4+5=12603/12=15(厘米)
604/12=20(厘米)
605/12=25(厘米)
答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3
从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解
如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=17179/17=9
176/17=6172/17=2
答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
例4
某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人?
解
80(12-8)(8+12+21)=820(人)
答：三个车间一共820人。
18
百分数问题
【含义】
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示率，也可以表示量，而百分数只能表示率;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号%。
在实际中和常用到百分点这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
【数量关系】
掌握百分数、标准量比较量三者之间的数量关系：
百分数=比较量标准量
标准量=比较量百分数
【解题思路和方法】
一般有三种基本类型：
(1)求一个数是另一个数的百分之几;
(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;
(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
例1
仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?
解
(1)用去的占720(720+6480)=10%
(2)剩下的占6480(720+6480)=90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2
红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几?
解
本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)525=0.2=20%
或者1-420525=0.2=20%
答：男职工人数比女职工少20%。
例3
红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几?
解
本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
(525-420)420=0.25=25%
或者525420-1=0.25=25%
答：女职工人数比男职工多25%。
例4
红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?
解
(1)男职工占420(420+525)=0.444=44.4%
(2)女职工占525(420+525)=0.556=55.6%
答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
19
牛吃草问题
【含义】
牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】
草总量=原有草量+草每天生长量天数
【解题思路和方法】
解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1
一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?
解
草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量天数。求多少头牛5天可以把草吃完，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
(1)求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(11020);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
11020=原有草量+20天内生长量
同理11510=原有草量+10天内生长量
由此可知(20-10)天内草的生长量为
11020-11510=50
因此，草每天的生长量为50(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=11510-510=100
(3)求5天内草总量
5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+55=125
(4)求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数1255=25(头)
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2
一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘
水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?
解
这是一道变相的牛吃草问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于牛数)，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
(1)求每小时进水量
因为，3小时内的总水量=1123=原有水量+3小时进水量
10小时内的总水量=1510=原有水量+10小时进水量
所以，(10-3)小时内的进水量为1510-1123=14
因此，每小时的进水量为14(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1123-3小时进水量=36-23=30
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是
30(17-2)=2(小时)
答：17人2小时可以淘完水。
20
鸡兔同笼问题
【含义】
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】
第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数=(实际脚数-2鸡兔总数)(4-2)
假设全都是兔，则有
鸡数=(4鸡兔总数-实际脚数)(4-2)
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数=(2鸡兔总数-鸡与兔脚之差)(4+2)
假设全都是兔，则有
鸡数=(4鸡兔总数+鸡与兔脚之差)(4+2)
【解题思路和方法】
解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
例1
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?
解
假设35只全为兔，则
鸡数=(435-94)(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数=(94-235)(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)
答：有鸡23只，有兔12只。
例2
2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?
解
此题实际上是改头换面的鸡兔同笼问题。每亩菠菜施肥(12)千克与每只鸡有两个脚相对应，每亩白菜施肥(35)千克与每只兔有4只脚相对应，16亩与鸡兔总数相对应，9千克与鸡兔总脚数相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数=(9-1216)(35-12)=10(亩)
答：白菜地有10亩。
例3
李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?
解
此题可以变通为鸡兔同笼问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4
(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?
解
假设100只全都是鸡，则有
兔数=(2100-80)(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答：有鸡80只，有兔20只。
例5
有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?
解
假设全为大和尚，则共吃馍(3100)个，比实际多吃(3100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以小换大，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚
(3100-100)(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21
方阵问题
【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=(每边人数-1)4
每边人数=四周人数4+1
(2)方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数每边人数
空心方阵：总人数=(外边人数)?-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=(每边人数-层数)层数4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1
在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?
解
2222=484(人)
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2
有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解
10-(10-32)?
=84(人)
答：全方阵84人。
例3
有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人?
解
(1)中空方阵外层每边人数=524+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=284-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=1414-66=160(人)
答：这队学生共160人。
例4
一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?
解
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)2=7(只)
(3)原有棋子数=77-9=40(只)
答：棋子有40只。
例5
有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?
解
第一种方法：1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法：(5+1)52=15(棵)
答：这个三角形树林一共有15棵树。
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小学英语必考知识点总结
小学英语必考知识点总结
我 (I) 用 am ,你 (you) 用 are , is 跟着他 (he) ,她 (she) ,他 (it) 。
单数名词用 is，复数名词全用 are 。
变否定，更容易，be 后 not 加上去。
变疑问，往前提，句末问号某丢弃。
还有一条须注意，句首大写莫忘记。
this 和 that 是指示代词，it 是人称代词。
距离说话人近的人或者物用 this ，距离说话人远的人或物用 that 。
如：
-This is a floiss Green? 喂，是格林小姐吗?
-Yes,this is.y bed. That is Lilys bed. 这是我的床。那是莉莉的床。
-These pictures are good. 那些画很好。
- Are those apple trees? 那些是苹果树吗?
在回答主语是 these 或 those 的疑问句时，通常用 they 代替 these 或 those 以避免重复。
如：
-Are these / those your apples? 这些(那些)是你的苹果吗?
-Yes, they are. 是的，他们是。
-Jims coat. 吉姆的外套
-Jeffs mother. 杰夫的妈妈
以s结尾的复数名词，只加
-Teachers Day 教师节
-the tay，2003 (2003年5月10日)
英语日期前介词的使用：若指在哪一年或哪一月，则用介词 in，若具体到某一天，则需用介词 on。
9时间的表达法
直读式，即直接读出时间数字。
-7:05 seven five
-8:16 eight sixteen
过、差式，即几点差几分，几点过几分。
(以30分为分界线)
-1:25 t. 上午6点
-8:20 p.m. 下午8点20分
24小时制 。
-13:00 13点钟
-22:15 22点15分
15分可用quarter 。
-4:15 a quarter past four
-5:45 a quarter to six
时间前通常用at。
-at 5 oclock
-at 7:30 p.m.
10o , he doesnt.
高中数学数列知识点总结
篇一：高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn?
?a1?an?n?na
2
1?
n?n?1?
d 2
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1
?
bmT2m?1
（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界
项，
?an?0
即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1?a?0
当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值.
?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?
，有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
S偶?S奇?nd，
S奇S偶
?
an
. an?1
，有
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?
1
S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?SS奇偶?an，
S?
nn?1
. 偶
2. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1
?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn
. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?
xy，或G?
?na1(q?1)前n项和：S?
n???
a1?1?qn?（要注意！）
?1?q
(q?1)性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法
如：数列?a12?11
n?，a122a2?……?2
nan?2n?5，求an
解 n?1时，1
2a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a?11
122a2?……?2
n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：1n?1
?14(n?1)2nan?2，∴an?2，∴an???
2n?1(n?2) ［练习］数列?a5
n?满足Sn?Sn?1?3
an?1，a1?4，求an
注意到aSn?1
n?1?Sn?1?Sn，代入得
S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n
；
2
①
②
Sn?4n
n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1
（2）叠乘法
an 如：数列?an?中，a1?3n?1?，求an
ann?1
解
3aa1a2a312n?1
，∴n?又a1?3，∴an?……n?……
n. a1na1a2an?123n
（3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
?
a3?a2?f(3)??
n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
…………?an?an?1?f(n)??
a2?a1?f(2)
∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式
n?1
?an?1?n?2?，求an（
an?
1n
3?1??2）
an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?
ddd??
，c为公比的等比数列 ，∴?an??是首项为a1?
c?1c?1c?1??
∴an?
dd?n?1d?n?1d??
，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?
c?1?c?1?c?1?c?1?
（5）倒数法 如：a1?1，an?1?
2an
，求an an?2
由已知得：
a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2
?1?11111
·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?
2a1an22?an?
3
∴an?( 附：
2n?1
公式法、利用
an?
?
S1(n?1)
Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?
1
k?1akak?1
n
解：由
n
111?11?
??????d?0?
ak·ak?1akak?dd?akak?1?
n
?111?11?1??11??11?1??
?????????……??∴???????? ??
ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1??
?
1?11?
??? d?a1an?1?
［练习］求和：1?
111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n
1
an?……?……，Sn?2?
n?1
（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由
Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
4
②
x?1时，Sn
1?x?nx???
n
n
?1?x?
2
1?x
，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?
n?n?1?
2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an?
?相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
Sn?an?an?1?……?a2?a1?
x2
［练习］已知f(x)?，则 2
1?x
?1?
f(1)?f(2)?f???f(3)?
?2??1?
f???f(4)??3?
2
?1?
f????4?
?1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222
x1?x1?x1?x???1?
1????x?
?
∴原式?f(1)??f(2)?
?(附：
?1???
f?????f(3)??2????1???
f?????f(4)??3???1?1??1
f?????1?1?1?3
2?4??2
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条
5
篇二：高中数学数列知识点总结
五、数列
一、数列定义：
数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为 通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为{an}，f(1),f(2),?；
其中an表示数列{an}的通项。
注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；
（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，
它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?
（3）anSnan??
S?S(n?2)n?1?n
*
如：已知{an}的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。
二、等差数列、等比数列的性质：
如：（1）在等差数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n?
（2）在等比数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：
（1）等差数列{an}中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列{an}中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?
（3）等差数列{an}中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2???an?；Sm?n? ； （4）若Sp?Sq，则n?时，Sn最大。 （5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，
则
ambm
?S______T______
；
ambn
??
S______T______
（6）项数为偶数2n的等差数列{an}，有S2n?
间的两项）
S偶?S奇?n(a1?a2n)
2
?
n2
(an?an?1)（an与an?1为中
S奇S偶
?
项数为奇数2n?1的等差数列{an}，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项）
S奇?S偶?S奇S偶
?S奇?S偶?
等比数列中还有以下性质须注意：
（1）若{an}是等比数列，则{?an}(??0)，{|an|}也是等比数列，公比分别
（2）若{an}是等比数列，则{三、判定方法：
（1）等差数列的判定方法：
1an
，{an}也是等比数列，公比分别 ； ；
2
①定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?{an}是等差数列 ②中项公式法：2an?1?an?an?2?{an}是等差数列
③通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?{an}是等差数列 ④前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?{an}是等差数列 注意：①②是用来证明{an}（2）等比数列的判定方法：
①定义法：
an?1an
?q或
anan?1
?d(n?2)（q是不为零的常数）?{an}是等比数列
②中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?{an}是等差数列
n
③通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?{an}是等差数列
2
2
④前n项和公式法：Sn?kq?k（k?
a1q?1
是常数）?{an}是等差数列
注意：①②是用来证明{an}四、数列的通项求法： （1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，…… （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 ②递推式为an?1?an?f(n)：迭加法 如：已知{an}中a1?
12
，an?1?an?
14n?1
2
，求an
③递推式为an?1?f(n)an：迭乘法 如：已知{an}中a1?2，an?1?
n?1n
an，求an
④递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）：
?an?1?pan?q
构造法：Ⅰ、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则
a?pa?qn?1?n?2
{an?1?an}为等比数列。
Ⅱ、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t?
为等比数列。
如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an ⑤递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）：
两边同时除去qn?1得再用④法解决。 如：已知{an}中，a1?
56
qp?1
，则{an?
qp?1
an?1q
n?1
?
pq
?
anq
n
?
1q
，令bn?
anq
n
，转化为bn?1?
pq
bn?
1q
，
，an?1?
1
1n?1
an?()，求an 32
⑥递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）：
将an?2?pan?1?qan变形为an?2?tan?1?s(an?1?tan)，可得出?
s,t，于是{an?1?tan}是公比为s的等比数列。
?s?t?p?st??q
解出
如：已知{an}中，a1?1,a2?2，an?2?
S1,n?1?
（3）公式法：运用an??
?Sn?Sn?1,n?2
23
an?1?
13
an，求an
2
①已知Sn?3n?5n?1，求an；②已知{an}中， Sn?3?2an，求an；
③已知{an}中，a1?1,an?五、数列的求和法：
2Sn
2
2Sn?1
(n?2)，求an
（1）公式法：
①等差（比）数列前n项和公式：②1?2?3???n?；
③1?2?3???n?（2）倒序相加（乘）法：
012n
如：①求和：Sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn；
2222
n(n?1)(2n?1)
6
；④1?2?3???n?[
3333
n(n?1)
2
]
2
篇三：高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与
项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an?? S?S,(n?2)n?1?n
2. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1??n?1?d?am?(n?m)d
等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，
Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0
?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1
.
（3）{kan}也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)a1?a2???am,am?1?am?1???a2m,a2m?1?a2m?1???a3m?仍成等差数列.
(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
3. 等比数列的定义与性质
定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an
等比中项：x、G、y成等比数列?G2?
xy，或G?
前n项和：
?na1 (q?1)?na1 (q?1)??Sn??a1?anqa1(1?qn)??a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn.
注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
（3）{|an|}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列.
（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列.
（6）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等比数列，
（7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；2m?p?q?bm2?bp?bqSm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.
（8）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.（9）等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：?an?是公差为d的等差数列，求?1
k?1akak?1n
解：由
n111?11???????d?0? ak·ak?1akak?dd?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1
?1?11???? d?a1an?1?
［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n
1an?……?……，Sn?2? n?1
（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
① x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn
①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
x?1时，Sn ② ?1?x??nx?nn
?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?… Sn?an?an?1?……?a2?a1?
高中数学必修二知识点总结
篇一：高一数学必修2知识点总结
高中数学必修2知识点
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当???0?,90??时，k?0； 当???90?,180??时，k?0； 当??90?时，k不存在。
y?y1
(x1?x2) ②过两点的直线的斜率公式：k?2
x2?x1注意下面四点：(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与p1、p2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程
①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：
y?y1y2?y1
xa?y
?
x?x1x2?x1
（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?
?1 b
其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：
A0x?B0y?C?0（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；
（ⅱ）过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为
，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）（6）两直线平行与垂直
当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时， l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点
l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交 交点坐标即方程组??
A1x?B1y?C1?0
的一组解。
?A2x?B2y?C2?0
方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合 （8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，B是平面直角坐标系中的两个点，
（x2,y2）
则|AB|?
（9）点到直线距离公式：一点p?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
?
Ax0?By0?C
A?B
2
2
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的
半径。
2、圆的方程
（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心?a,b?，半径为r；
2
2
（2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 当D?E
22
2
?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?
??
?
2
2
D2
,?
1E?，半径为r??
22?
D
2
?E
2
?4F
当D?E?4F?0时，表示一个点； 当D?E?4F?0时，方程不表示任何图
形。
（3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为
d?
Aa?Bb?CA?B
2
2
2
，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交
2
2
（2）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a???y?b??r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有
??0?l与C相离；??0?l与C相切；??0?l与C相交
2
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0?yy0?r去解直线与圆相切的问题，其中?x0,y0?表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
22
①圆x2+y2=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0?yy0?r (课本命题)．
2222
②圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；
当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d?R?r时，两圆内含；当d?0时，为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE?ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且
相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥p?ABCDE
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到
截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台p?ABCDE
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图
是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何
体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）
S直棱柱侧面积
S正棱台侧面积
?12
?chS圆柱侧?2?rh S正棱锥侧面积
(c1?c2)h S圆台侧面积?(r?R)?l
?
12
chS圆锥侧面积
??rl
S圆柱表?2?r?r?l?S圆锥表??r?r?l? S圆台表???r2?rl?Rl?R2?
（3）柱体、锥体、台体的体积公式 ??V柱?Sh V圆柱?Sh
V台
?
13(S?
2
1
r hV锥?Sh V圆锥?1?r2h
3
3
S)hV圆台?
13
(S?
S)h?
13
?(r?rR?R)h
22
（4）球体的表面积和体积公式：V球4、空间点、直线、平面的位置关系
=
43
?R
3
； S
球面
=4?R2
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③ 点与平面的关系：点A在平面?内，记作A??；点A不在平面?内，记作A?? 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A?l；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?α；直线l不在平面α内，记作l?α。 （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：A?l,B?l,A??,B???l?? （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：p?A?B?A?B?l,p?l 公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 （5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．
篇二：高一数学必修2知识点总结人教版
高中数学必修二复习
基本概念
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
空间两直线的位置关系：
空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面： 平行、 相交 （2）异面：
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：
（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]
最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
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③直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
两个平面的位置关系：
（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系：
两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。 b、相交 二面角
（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。 （2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]
（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 （4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直
两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 Attention：
二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系） 多面体 棱柱
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质
（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形
（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形
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棱锥
棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质：
（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形
（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥
正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质：
（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。
（3） 多个特殊的直角三角形 esp：
a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表 当??0,90
?
当???90
?
?
时，k?0；,180?时，k?0；
?
?
当??90时，k不存在。 ②过两点的直线的斜率公式：k?
y2?y1x2?x1
(x1?x2)
注意下面四点：
(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与p1、p2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
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l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：
y?y1y2?y1
xa?y
?
x?x1x2?x1
（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?
?1 b
其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）
1各式的适用范围 注意：○
2特殊的方程如：平行于x轴的直线：y?b（b为常数） ○；
平行于y轴的直线：x?a（a为常数）；
（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：
A0x?B0y?C?0（C为常数）
（二）垂直直线系
垂直于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：
B0x?A0y?C?0（C为常数）
（三）过定点的直线系
① 斜率为k的直线系：y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；
② 过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为 ，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）
（5）两直线平行与垂直
当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时， l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交
交点坐标即方程组?
?A1x?B1y?C1?0?A2x?B2y?C2?0
的一组解。
方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合
（7）两点间距离公式：设A(x1,y1)，B是平面直角坐标系中的两个点，
（x2,y2）
则|AB|?
（8）点到直线距离公式：一点p?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d（9）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
圆的方程
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?
Ax0?By0?C
A?B
2
2
（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心?a,b?，半径为r；
2
2
（2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 当D?E
22
2
?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?
??
?
2
2
D2
,?
1E?，半径为r??
22?
D
2
?E
2
?4F
当D?E?4F?0时，表示一个点； 当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为
d?
Aa?Bb?CA?B
2
2
2
，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交
（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
圆与圆的位置关系
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
2
设圆C1:?x?a1???y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；
当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d?R?r时，两圆内含；当d?0时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
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篇三：20xx年高一数学必修二各章知识点总结
数学必修2知识点
1. 多面体的面积和体积公式
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2. 旋转体的面积和体积公式
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
3、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.
4、平面的基本性质：
公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
??l,??l,???,????l??
?,?,C三点不共线?有且只有一个平面?,使???,???,C??
公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
??????????l且??l
推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. a//b,b//c?a//c
1
5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 数学符号表示：a??,b??,a//b?a//?
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：a//?,a??,????b?a//b
7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 数学符号表示：a??,b??,a?b??,a//?,b//???//? （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）平行于同一个平面的两个平面平行.
面面平行的性质定理：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. ?//?,a???a//? （2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. ?//?,????a,????b?a//b
8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：m??,n??,m?n??,l?m,l?n?l??
（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. （3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示：a??,a????//? 符号表示：?//?,?//???//?
a//b,a???b??
?//?,a???a??
a??,b???a//b
9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. a??,a?????? 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示：???,????b,a??,a?b?a??
10、直线的倾斜角和斜率：
（1）设直线的倾斜角为?0???180，斜率为k，则k?tan????
????
（2）当0???90时，k?0；当90???180时，k?0.
?
??
?
??
?????.当时，斜率不存在. ?22?
（3）过p1(x1,y1)，p2(x2,y2)的直线斜率k?
y2?y1
(x2?x1).
x2?x1
2
11、两直线的位置关系：
两条直线l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2斜率都存在，则： （1）l1∥l2?k1?k2且b1?b2
（2）l1?l2?k1?k2??1（当l1的斜率存在l2的斜率不存在时l1?l2） （3）l1与l2重合?k1?k2且b1?b2
12、直线方程的形式：
（1）点斜式：y?y0?k?x?x0?（定点，斜率存在） （2）斜截式：y?kx?b（斜率存在，在y轴上的截距） （3）两点式：
y?y1x?x1
?(y2?y1,x2?x1)（两点） （4）一般式：?x??y?C?0???A2?B2?0?
y2?y1x2?x1
（5）截距式：
xy
??1（在x轴上的截距，在y轴上的截距） ab
13、直线的交点坐标：
设l1:A1x?B1y?c1?0,l2:A2x?B2y?c2?0，则： （1）l1与l2相交?
A1B1ABCABC
；（2）l1∥l2 ?1?1?1；（3）l1与l2重合?1?1?1. ?
A2B2A2B2C2A2B2C2
pp?14、两点p1(x1,y1)，p2(x2,y
2)间的距离公式12
原点??0,0?与任一点?
?x,y?的距离Op?
15、点p0(x0,y0)到直线l:?x??y?C?
0的距离d?
l:?x?C?0的距离d?（1）点p0(x0,y0)到直线
Ax0?CABy0?CB（2）点p0(x0,y0)到直线l:?y?C?0的距离d?
（3）点??0,0?到直线l:?x??y?C?
0的距离d?
16、两条平行直线?x??y?C1?0与?x??y?C2?
0间的距离d?
17、过直线l1:A1x?B1y?c1?0与l2:A2x?B2y?c2?0交点的直线方程为
3
(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?c2)?0???R?
18、与直线l:?x??y?C?0平行的直线方程为?x??y?D?0?C?D? 与直线l:?x??y?C?0垂直的直线方程为?x??y?D?0 19、中心对称与轴对称：
x1?x2?x???02
（1）中心对称：设点p(x1,y1),E(x2,y2)关于点M(x0,y0)对称，则?
y?y2?y?10??2
（2）轴对称：设p(x1,y1),E(x2,y2)关于直线l:?x??y?C?0对称，则： a、B?0时，有
x1?x2y?yCC
??且y1?y2； b、A?0时，有12??且x1?x2 2A2B
?y1?y2B
???x?xA
c、A?B?0时，有?12
?A?x1?x2?B?y1?y2?C?0??22
20、圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2（圆心A?a,b?，半径长为r） 圆心O?0,0?，半径长为r的圆的方程x?y?r。
2
2
2
21、点与圆的位置关系：
设圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2，点M(x0,y0)，将M带入圆的标准方程，结果r2在外，r2在内 22、圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0 （1）当D?E?4F?0时，表示以??
2
2
22
?
22
?
?DE?
,??为半径的圆；
?22?
（2）当D?E?4F?0时，表示一个点??
22
?DE?22
,??；（3）当D?E?4F?0时，不表示任何图形. ?22?
23、直线与圆的位置关系：
几何角度：圆心到直线的距离与半径大小比较；或代数角度：带入方程组算△0、=0、0 .
24、圆与圆的位置关系：几何角度判断（圆心距与半径和差的关系）
（1）相离?C1C2?r1?r2；（2）外切?C1C2?r1?r2；（3）相交?r1?r2?C1C2?r1?r2； （4）内切?C1C2?r1?r2； （5）内含?C1C2?r1?r2. 25、过两圆
x2?y2?D1x?E1y?F1?0与x2?y2?D2x?E2y?F2?0交点的圆的方程
4
(x2?y2?D1x?E1y?F)1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0(???1).
当???1时，即两圆公共弦所在的直线方程.
pp?26、点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z
2)间的距离12
5
考研数学知识模块大总结
20xx考研数学知识模块大总结
高等数学-五大模块
一
1、一元微积分学;
2、多元微积分学;
3、曲线、曲面积分;
4、无穷级数;
5、微分方程。
这里面的曲线、曲面积分是数一的同学特有的，其他内容是所有考数学的同学都要考查的。
线性代数-三大知识模块
二
1、行列式和矩阵;
2、向量和线性方程组;
3、特征值、特征向量和二次型。
线性代数部分从考纲来看各个卷种的差别不大，近些年的变化也不大，是考研数学相对稳定的一部分考查内容。
概率论与数理统计-三大知识模块
三
1、概率、概率基本性质及简单的概型;
2、随机变量及其分布与数字特征;
3、统计基本概念、参数估计及假设检验;
这部分是数二的同学不要求的，而数一和数三大纲的要求还是有些差距的，比如数一要求假设检验而数三不要求。
★第一个层次是概念、性质、公式、定理及相关知识之间的联系、区别的归纳与总结。
★第二个层次是对题型的归纳总结。
★第三个层次对总结的题型进行解题方法的总结。
★第四个层次找到合适的解题方法，提高解题速度。
考研数学注重对基本计算能力的考察，希望20xx年的考生能够加强对基本计算能力的训练。在考研数学备考的冲刺阶段，结合近年的真题情况，有三点需要考生始终谨记在心：
(1)打牢基本计算基础，对照考纲消灭考试盲点;
(2)多做习题巩固知识点，总结做过题目，补齐知识短板;
(3)紧贴真题，掌握重要考点，提高临战心理素质。
指数对数幂函数知识点总结
篇一：指数、对数、幂函数知识点
指数、对数、幂函数知识归纳
知识要点梳理
知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果
；
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，
表示为当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子
叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
；
，那么叫做的
次方根，其中
2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，
；
(2)当为偶数时，
3.分数指数幂的意义：
；
注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：
(1)(2)(3)
知点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念：一般地，函数变量，函数的定义域为
.
叫做指数函数，其中是自
1.(20xx·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)= ( )
A.ex+1 B.ex-1C.e-x+1 D.e-x-1
2.（20xx·上海高考文科·T8）方程
3.（20xx·湖南高考理科·Ｔ16）设函数
f(x)?ax?bx?cx,其中c?a?0,c?b?0.
9x
的实数解为 . ?1?3x
3?1
且a=b?，（1）记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，
则(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为____.
（2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是. （写出所有正确结论的序号）
①?x????,1?,f?x??0;
②?x?R,使得ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长； ③若?ABC为钝角三角形，则?x??1,2?,使f?x??0.
知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若叫做底数，
叫做真数.
，则叫做以为底
的对数，记作
，
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化：2.几个重要的对数恒等式：
，
，
.
.
3.常用对数与自然对数：
常用对数：
，即
；自然对数：
，即
(其中
…).
4.对数的运算性质如果
①加法：
，那么
②减法：③数乘：④
⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义
一般地，函数数的定义域
.
叫做对数函数，其中是自变量，函
2.对数函数性质：
4.（20xx·广东高考理科·Ｔ2）函数f(x)?
的定义域是（ ） x?1
A．(?1,??) B．[?1,??) C．(?1,1)(1,??) D．[?1,1)(1,??)
5.（20xx·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A．
logab·logcb?logca
B. logab?logca?logcb
篇二：指数_对数_幂函数必备知识点
几种特殊的函数
知识点一：指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2.n次方根的性质：
(1)当为奇数时，；当为偶数时，
(2)
3.分数指数幂的意义：
；
注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
(1) (2) (3)
知识点二：指数函数及其性质
1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.指数函数函数性质：
函数
名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.
知识点三：对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，
叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化：.
2.几个重要的对数恒等式
，，.
3.常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).
4.对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.
2.对数函数性质：
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.
知识点五：反函数
1.反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.
2.反函数的性质
(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.
(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.
(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.
3.反函数的求法
(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；
(2)从原函数式中反解出；
(3)将改写成，并注明反函数的定义域.
知识点六：幂函数
1.幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布
在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分
布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数
时，图象只分布在第一象限.
(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过
点.
(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在
上为增函数.如果，则幂函数的图象在
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.
(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，
幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，
若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，
若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.
(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若
，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若,
其图象在直线下方.
篇三：指数对数幂函数知识点汇总
知识点一：根式、指数幂的运算
1、根式的概念：若x?a，则x叫做a的次方根， n?1,n?N
n
?
?
?
（1）当n为奇数时，正数的n次方根为正，负数的n次方根为负，记作na； （2）当n为偶数时，正数的n
次方根有两个（互为相反数），记作 （3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2、n次方根的性质：（1
）
n
?an为奇数
． ?a； （2
??
?|a|n为偶数
3、分数指数幂的意义：（1
）a?； （2
）a
mn
m?n
?
1a
mn
?
a?0,m,n?N
?
,n?1?．
注意：0的正指数幂等于0，负指数幂没有意义. 4、指数幂的运算性质：?a?0,b?0,r,s?R?
rrs
)ras?a? (1a；(2)a
??
s
?ars； (3)?ab??arbr
r
知识点二：对数与对数运算
b
1、指数式与对数式的互化：a?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)
2、几个重要的对数恒等式
（1）负数和0没有对数； （2）loga1?0（a?1） （3）logaa?1（a?a）； （4）对数恒等式：a3、对数的运算性质
（1）loga(MN)?logaM?logaN； （2）loga
n
1
logaN
?N
M
?logaM-logaN； N
logmN
；
logma
（3）logaM?nlogaM(n?R)； （4）换底公式：logaN?
（5）logab?logba?1 ； （6）logab?logbc?logac ； （7）logab?logbc?logcd?logad ； （8）logambn?n
logab；
m
知识点四：对数函数及其性质
x
注：指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数 （1）互为反函数的两函数图象关于y?x对称，
即(a,b)在原函数图象上，则(b,a)在其反函数图象上； （2）互为反函数的两函数在各自的定义域上单调性相同。 知识点五：复合函数的单调性
1、增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；
2、若g(x)?kf(x)， 则k?0时，g(x)与f(x)单调性相同；k?0时，g(x)与f(x) 单调性相反； 3
、若g(x)?4、若g(x)?a
g(x)与f(x)单调性相同（注意f(x)?0）；
f(x)
，则a?1时，g(x)与f(x)单调性相同；0?a?1时，g(x)与f(x)
单调性相反；
5、若g(x)?logaf(x)， 则a?1时，g(x)与f(x)单调性相同； 0?a?1时，g(x)与f(x)单调性相反；（注意f(x)?0）知识点六： 幂函数及性质
?
幂函数y?x的性质：（第一象限内）
（1）所有的幂函数在(0,??)都有定义，都过点(1,1)； （2）??0时，在[0,??)上递增，且又都过(0,0)；
??0时，且在(0,??)上递减；
（3）0???1时，图象上凸；??1时，图象下凹； （4）在直线x?1的右侧，指数越大，图象越高。
