高中数学数列知识点总结。
韶光易逝，这一年的工作已经快接近尾声。毫无例外，从四季度起我们现在应该开始进行本年度的工作总结了，没有对上一年的认真复盘，就不可能有下一年的起飞。如何在岗位的总结中，全面地认识自己呢？小编收集并整理了“高中数学数列知识点总结”，希望能对您有所帮助，请收藏。
篇一：高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn?
?a1?an?n?na
2
1?
n?n?1?
d 2
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1
?
bmT2m?1
（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界
项，
?an?0
即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1?a?0
当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值.
?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?
，有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
S偶?S奇?nd，
S奇S偶
?
an
. an?1
，有
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?
1
S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?SS奇偶?an，
S?
nn?1
. 偶
2. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1
?q（q为常数，q?0），an?1an?a1qn
. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?
xy，或G?
?na1(q?1)前n项和：S?
n???
a1?1?qn?（要注意！）
?1?q
(q?1)性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法
如：数列?a12?11
n?，a122a2?……?2
nan?2n?5，求an
解 n?1时，1
2a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a?11
122a2?……?2
n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：1n?1
?14(n?1)2nan?2，∴an?2，∴an???
2n?1(n?2) ［练习］数列?a5
n?满足Sn?Sn?1?3
an?1，a1?4，求an
注意到aSn?1
n?1?Sn?1?Sn，代入得
S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n
；
2
①
②
Sn?4n
n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1
（2）叠乘法
an 如：数列?an?中，a1?3n?1?，求an
ann?1
解
3aa1a2a312n?1
，∴n?又a1?3，∴an?……n?……
n. a1na1a2an?123n
（3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
?
a3?a2?f(3)??
n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
…………?an?an?1?f(n)??
a2?a1?f(2)
∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式
n?1
?an?1?n?2?，求an（
an?
1n
3?1??2）
an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?
ddd??
，c为公比的等比数列 ，∴?an??是首项为a1?
c?1c?1c?1??
∴an?
dd?n?1d?n?1d??
，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?
c?1?c?1?c?1?c?1?
（5）倒数法 如：a1?1，an?1?
2an
，求an an?2
由已知得：
a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2
?1?11111
·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?
2a1an22?an?
3
∴an?( 附：
2n?1
公式法、利用
an?
?
S1(n?1)
Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?
1
k?1akak?1
n
解：由
n
111?11?
??????d?0?
ak·ak?1akak?dd?akak?1?
n
?111?11?1??11??11?1??
?????????……??∴???????? ??
ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1??
?
1?11?
??? d?a1an?1?
［练习］求和：1?
111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n
1
an?……?……，Sn?2?
n?1
（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由
Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
4
②
x?1时，Sn
1?x?nx???
n
n
?1?x?
2
1?x
，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?
n?n?1?
2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an?
?相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
Sn?an?an?1?……?a2?a1?
x2
［练习］已知f(x)?，则 2
1?x
?1?
f(1)?f(2)?f???f(3)?
?2??1?
f???f(4)??3?
2
?1?
f????4?
?1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222
x1?x1?x1?x???1?
1????x?
?
∴原式?f(1)??f(2)?
?(附：
?1???
f?????f(3)??2????1???
f?????f(4)??3???1?1??1
f?????1?1?1?3
2?4??2
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条
5
篇二：高中数学数列知识点总结
五、数列
一、数列定义：
数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为 通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为{an}，f(1),f(2),?；
其中an表示数列{an}的通项。
注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；
（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，
它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?
（3）anSnan??
S?S(n?2)n?1?n
*
如：已知{an}的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。
二、等差数列、等比数列的性质：
如：（1）在等差数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n?
（2）在等比数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：
（1）等差数列{an}中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列{an}中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?
（3）等差数列{an}中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2???an?；Sm?n? ； （4）若Sp?Sq，则n?时，Sn最大。 （5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，
则
ambm
?S______T______
；
ambn
??
S______T______
（6）项数为偶数2n的等差数列{an}，有S2n?
间的两项）
S偶?S奇?n(a1?a2n)
2
?
n2
(an?an?1)（an与an?1为中
S奇S偶
?
项数为奇数2n?1的等差数列{an}，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项）
S奇?S偶?S奇S偶
?S奇?S偶?
等比数列中还有以下性质须注意：
（1）若{an}是等比数列，则{?an}(??0)，{|an|}也是等比数列，公比分别
（2）若{an}是等比数列，则{三、判定方法：
（1）等差数列的判定方法：
1an
，{an}也是等比数列，公比分别 ； ；
2
①定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?{an}是等差数列 ②中项公式法：2an?1?an?an?2?{an}是等差数列
③通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?{an}是等差数列 ④前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?{an}是等差数列 注意：①②是用来证明{an}（2）等比数列的判定方法：
①定义法：
an?1an
?q或
anan?1
?d(n?2)（q是不为零的常数）?{an}是等比数列
②中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?{an}是等差数列
n
③通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?{an}是等差数列
2
2
④前n项和公式法：Sn?kq?k（k?
a1q?1
是常数）?{an}是等差数列
注意：①②是用来证明{an}四、数列的通项求法： （1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，…… （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 ②递推式为an?1?an?f(n)：迭加法 如：已知{an}中a1?
12
，an?1?an?
14n?1
2
，求an
③递推式为an?1?f(n)an：迭乘法 如：已知{an}中a1?2，an?1?
n?1n
an，求an
④递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）：
?an?1?pan?q
构造法：Ⅰ、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则
a?pa?qn?1?n?2
{an?1?an}为等比数列。
Ⅱ、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t?
为等比数列。
如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an ⑤递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）：
两边同时除去qn?1得再用④法解决。 如：已知{an}中，a1?
56
qp?1
，则{an?
qp?1
an?1q
n?1
?
pq
?
anq
n
?
1q
，令bn?
anq
n
，转化为bn?1?
pq
bn?
1q
，
，an?1?
1
1n?1
an?()，求an 32
⑥递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）：
将an?2?pan?1?qan变形为an?2?tan?1?s(an?1?tan)，可得出?
s,t，于是{an?1?tan}是公比为s的等比数列。
?s?t?p?st??q
解出
如：已知{an}中，a1?1,a2?2，an?2?
S1,n?1?
（3）公式法：运用an??
?Sn?Sn?1,n?2
23
an?1?
13
an，求an
2
①已知Sn?3n?5n?1，求an；②已知{an}中， Sn?3?2an，求an；
③已知{an}中，a1?1,an?五、数列的求和法：
2Sn
2
2Sn?1
(n?2)，求an
（1）公式法：
①等差（比）数列前n项和公式：②1?2?3???n?；
③1?2?3???n?（2）倒序相加（乘）法：
012n
如：①求和：Sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn；
2222
n(n?1)(2n?1)
6
；④1?2?3???n?[
3333
n(n?1)
2
]
2
篇三：高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与
项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an?? S?S,(n?2)n?1?n
2. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1??n?1?d?am?(n?m)d
等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，
Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0
?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1
.
（3）{kan}也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)a1?a2???am,am?1?am?1???a2m,a2m?1?a2m?1???a3m?仍成等差数列.
(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
3. 等比数列的定义与性质
定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an
等比中项：x、G、y成等比数列?G2?
xy，或G?
前n项和：
?na1 (q?1)?na1 (q?1)??Sn??a1?anqa1(1?qn)??a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn.
注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
（3）{|an|}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列.
（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列.
（6）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等比数列，
（7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；2m?p?q?bm2?bp?bqSm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.
（8）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.（9）等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：?an?是公差为d的等差数列，求?1
k?1akak?1n
解：由
n111?11???????d?0? ak·ak?1akak?dd?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1
?1?11???? d?a1an?1?
［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n
1an?……?……，Sn?2? n?1
（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
① x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn
①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
x?1时，Sn ② ?1?x??nx?nn
?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?… Sn?an?an?1?……?a2?a1?
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高中数学必修5知识点总结归纳
篇一：高中数学必修5等比数列知识点总结及题型归纳
等比数列知识点总结及题型归纳
1、等比数列的定义：2、通项公式：
an?a1qn?1?
a1n
q?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q
q
an?q?naman
?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1
推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：
（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?
ab或A?注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式：
（1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn?
?
a1?1?qn?1?q
?
a1?anq
1?q
a1a
?1qn?A?A?Bn?ABn?A（A,B,A,B为常数） 1?q1?q
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或
an?1
?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列 an
（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 （3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列
6、等比数列的证明方法：
a
依据定义：若n?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列
an?17、等比数列的性质：
（2）对任何m,n?N*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。
（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得an?am?ak2注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???
ak
（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，n（k为非零
bnan
常数）均为等比数列。
（5）数列{an}为等比数列，每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列 （6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列 （7）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列
（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列
1
a1?0，则{an}为递增数列{（9）①当q?1时，a1?0，则{an}为递减数列
a1?0，则{an}为递减数列{②当0q?1时，a1?0，则{an}为递增数列
③当q?1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q?0时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{an}中，当项数为2n(n?N*)时，
S奇1
? S偶q
二、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
14
1、数列?an?满足an??an?1?n?2?，a1?，则a4?_________．
33
2、在数列?an?中，若a1?1，an?1?2an?1?n?1?，则该数列的通项an?______________． 考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列?an?的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2?（ ） A．?4 B．?6C．?8 D．?10 2、若a、b、c成等比数列，则函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的个数为（ ） A．0
B．1 C．2 D．不确定
20
3、已知数列?an?为等比数列，a3?2，a2?a4?，求?an?的通项公式．
3
考点三：等比数列及其前n项和的基本运算
291
1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）
383
A．3 B．4C．5 D．6
2、已知等比数列?an?中，a3?3，a10?384，则该数列的通项an?_________________． 3、若?an?为等比数列，且2a4?a6?a5，则公比q?________． 4、设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 A．
2a1?a2
的值为（ ）
2a3?a4
111 B． C． D．1 428考点四：等比数列及其前n项和性质的应用
1、在等比数列?an?中，如果a6?6，a9?9，那么a3为（ ）
316
C． D．2 29
2、如果?1，a，b，c，?9成等比数列，那么（ ） A．b?3，ac?9 B．b??3，ac?9 C．b?3，ac??9 D．b??3，ac??9
A．4 B．
3、在等比数列?an?中，a1?1，a10?3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于（ ） A．81
B
．C
2
D．243
4、在等比数列?an?中，a9?a10?a?a?0?，a19?a20?b，则a99?a100等于（ ）
b9b10?b??b?A．8B．??C．9D．??
aa?a??a?
9
10
5、在等比数列?an?中，a3和a5是二次方程x2?kx?5?0的两个根，则a2a4a6的值为（） A．25
B
．
C
．?
D
．?
6、若?an?是等比数列，且an?0，若a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5的值等于?S,(n?1)
考点五：公式an??1的应用
?Sn?Sn?1,(n?2)
1．等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )
11
A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)
33
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.
3．设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
3
篇二：高中数学必修一至必修五知识点总结完整版
高中数学必修1知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ ? } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法。
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}
4、集合的分类：
（1）．有限集含有有限个元素的集合
（2）．无限集含有无限个元素的集合
（3）．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A? B(或B? A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
四、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象． 集合C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ p(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点p(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。
4．了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应， 那么就称对应f：A→ B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→ B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应
法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.
补充一：分段函数（参见课本p24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g 的复合函数。
例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当ab时，都有f(a)f(b)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当ab 时，都有f(a)＞f(b)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当ab时，总有f(a)f(b) 。
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：任取a，b∈D，且ab；2 作差f(a)－f(b)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
（1）、 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.（2）、 利用图象求函数的最大（小）值（3）、 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
篇三：人教版数学必修五知识点总结
第一章 解三角形
1、内角和定理：（1）三角形三角和为?，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正??
2、正弦定理：???2R（R为三角形外接圆的半径）． (1)a:b:c?sinA:sinB:sinC;(2)a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
（3）解三角形：已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。
可求其它边和角?已知两角和任意一边， ?，可求其它元素?已知两边和一边的对角
注意：已知两边一对角，求解三角形，若用正弦定理，则务必注意可能有两解．
?b2?c2?a2
?cosA?2bc?a2?b2?c2?2bccosA?222a?c?b??2223、余弦定理： （求边）?b?a?c?2accosB 或 （求角）?cosB?2ac??c2?a2?b2?2abcosC222??cosC?a?b?c
?2ab?
已知两边一角求第三边??． 已知三边求所有三个角（注:常用余弦定理鉴定三角形的类型）??已知两边和一边对角，求其它?
?1?2absinC
?1abc?14、三角形面积公式：S?aha??bcsinA?． 224R??1acsinB??2
5、解三角形应用
（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。
（3）坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。
（4）解斜三角形应用题的一般步骤：
分析→建模→求解→检验
第二章 数 列
1．数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：an?,(n?1)?SS?S,(n?2)1
nn?1（必要时请分类讨论）．
注意：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；an?
2．等差数列{an}中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． anan?1a ????2?a1．an?1an?2a1
?d?0?数列单调递增?，可知d的取值为d?R. ?d?0?数列为常数列
?d?0?数列单调递减?
（2）an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d；p?q?m?n?ap?aq?am?an．
（3）??1an??2bn?、{kan}也成等差数列．
（4）在等差数列{an}中，若am?n,an?m(m?n),则am?n?0.
（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?仍成等差数列．
（6）Sn?n(a1?an)n(n?1)ddSd，Sn?n2?(a1?)n，an?2n?1，，Sn?na1?。 2n?12222
amS2m?1?. bmT2m?1?an??（7）若Sn,Tn分别为等差数列,bn?的前项和，则两数列第m项之比
（8）若?an?为等差数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等差数列。
（9）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；
（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．
3．等比数列{an}中：
（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．
（2）an?a1qn?1?amqn?m； p?q?m?n?bp?bq?bm?bn．
（3）{an}、{bn}成等比数列{|an|}、an,??a???
a1?、，??{ka}ab??b2
?n?nnn??成等比数列．
?n?n
（4）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列．
?na1 (q?1)?na1 (q?1)????a1n（5）Sn??a1?anqa1(1?qn)． a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??
特别：an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)．
（6）若?an?为等比数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等比数列。
（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（8）有限等比数列中，若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．
（9）等比中项要么不存在，要么仅当实数a,b
同号时存在，且必有一对G?
（10）判定是否是等比数列的方法：定义法、中项法、通项法、和式法。
4．等差数列与等比数列的联系
（1）如果数列{an}成等差数列，那么数列{An}（An总有意义）必成等比数列．
（2）如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a?0,a?1)必成等差数列．
（3）如果数列{an}既成等差又成等比，那么数列{an}是非零常数数列；但反之不成立。
（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式）， aa
2222③1?2?3???n?n(n?1)，1?2?3???n?n(n?1)(2n?1)，26
1?3?5???(2n?1)?n2，1?3?5???(2n?1)?(n?1)2．
（2）分组求和法：常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
（3）倒序相加法；（4）错位相减法；
（5）裂项相消法： ①??， ②?(?)， 特别声明：?运用等比数列求和公式，务必检查公比与1的关系，必要时分类讨论．
三、不等式
1．（1）求不等式的解集，务必用集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
（2）解分式不等式f?x??a?a?0?（移项通分，等价为分子分母相乘大于或小于0）； gx（3；
（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．
2．利用重要不等式a?b?2ab 以及变式ab?()等求函数的最值时，务必注意a，2
b?R，且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一正二定三相等）．
???3．
2??
a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）
4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法
5．含绝对值不等式的性质： 222
a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；
a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|．
6．不等式的恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A
若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
高中数学教学总结
篇一：高一数学教学工作总结
高一上数学教学工作总结
本学期我担任高一23、24两班的数学教学，完成了必修1 、 4的教学。本学期教学主要内容有：集合与函数的概念，基本初等函数，函数的应用，三角函数、平面向量、三角恒等变换等六个章节的内容。现将本学期高中数学必修1 、必修4的教学总结如下：
一、教学方面
1、要认真研究课程标准。在课程改革中，教师是关键，教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。认真学习数学课程标准，对课改有所了解。课程标准明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。继承传统，更新教学观念。高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。
2、合理使用教科书，提高课堂效益。对教材内容，教学时需要作适当处理，适当补充或降低难度是备课必须处理的。灵活使用教材，才能在教学中少走弯路，提高教学质量。对教材中存在的一些问题，教师应认真理解课标，对课标要求的重点内容要作适量的补充；对教材中不符合学生实际的题目要作适当的调整。此外，还应把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次螺旋上升，逐步加深。
3、改进学生的学习方式，注意问题的提出、探究和解决。教会学生发现问题和提出问题的方法。以问题引导学生去发现、探究、归纳、总结。引导他们更加主动、有兴趣的学，培养问题意识。
4、在课后作业，反馈练习中培养学生自学能力。课后作业和反馈练习、测试是检查学生学习效果的重要手段。抓好这一环节的教学，也有利于复习和巩固旧课，还锻炼了学生的自学能力。在学完一课、一单元后，让学生主动归纳总结，要求学生尽量自己独立完成，以便正确反馈教学效果。
5、分层次教学。我所教的两个班，层次差别大，32班主要是落后面的学生，初中的基础差，高中的知识对他们来说就更增加了难度，而18班也是两极分化严重，前面约20个学生的基础扎实，成绩在中等以上，而后面的30多个学生的成绩却处于中下以下的水平，因此，不管是备课还是备练习，我都注重分层次教学，注意引导他们从基础做起，同时又不乏让他们可以开拓思维，积极动脑的提高性知识，让人人有的学，让人人学有获。
6、注意培养学生良好的学习习惯和学习方法。学生在从初中到高中的过渡阶段，往往会有些不能适应新的学习环境。例如新的竞争压力，以往的学习方法不能适应高中的学习，不良的学习习惯和学习态度等一些问题困扰和制约着学生的学习。为了解决这些问题，我从下面几方面下功夫：
（1）改变学生学习数学的一些思想观念，树立学好数学的信心 。
在开学初，我就给他们指出高中数学学习较初中的要难度大，内容多，知识面广，让他们有一个心理准备。对此，我给他们讲清楚，大家其实处在同一起跑线上，谁先跑，谁跑得有力，谁就会成功。对较差的学生，给予多的关心和指导，并帮助他们树立信心；对骄傲的学生批评教育，让他们不要放松学习。
（2）改变学生不良的学习习惯，建立良好的学习方法和学习态度
开始，有些学生有不好的学习习惯，例如作业字迹潦草，不写解答过程；不喜欢课
前预习和课后复习；不会总结消化知识；对学习马虎大意，过分自信等。为了改变学生不良的学习习惯，我要求统一作业格式，表扬优秀作业，指导他们预习和复习，强调总结的重要性，并有一些具体的做法，如写章节小结，做错题档案，总结做题规律等。对做得好的同学全班表扬并推广，不做或做得差的同学要批评。通过努力，大多数同学能很快接受，慢慢的建立起好的学习方法和认真的学习态度。
二 存在困惑
1、书本习题都较简单和基础，而我们的教辅题目偏难，加重了学生的学习负担，而且学生完成情况很不好。课时又不足，教学时间紧，没时间讲评这些练习题。
2、在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，更少巩固练习的时间。勉强按规定时间讲完，一些学生听得似懂非懂，造成差生越来越多。而且知识内容需要补充的内容有：乘法公式；因式分解的十字相乘法；一元二次方程及根与系数的关系；根式的运算；解不等式等知识。
3、虽然经常要求学生课后要去完成教辅上的精选的题目，但是，相当部分的同学还是没办法完成。学生的课业负担太重，有的学生则是学习意识淡薄。
三、今后要注意的几点
1、要处理好课时紧张与教学内容多的矛盾，加强对教材的研究；
2、注意对教辅材料题目的精选；
3、要加强对数学后进生的思想教育。
总之，作为一名高中的数学教师，一定要熟读教材，突破重难点，把握考点，注意学生的学习方法指导，我将把握好每一天，继续努力，争取更好的成绩。
篇二：高中数学教学工作总结
高中数学教学工作总结
徐明海
今年我担任高三（2）班的数学课。在教学上，我花了较多的时间钻研教材，弄清教材的重点和难点，尽可能的用形象的语言化难为易。班级学生的基础较差，要让他们的成绩有所提高，不是一件很容易的事，这让我感觉压力较大，但是我没有丝毫的退缩，反而这些压力给了我动力。这一年的时间过得是忙忙碌碌，但感觉很充实，也有一些收获和感受。自己在业务知识水平、教学能力、师德品质等方面都有了一定的提高，学生的成绩比起去年来有了一定的进步，但还没有达到我的目标。现从以下四个方面谈谈近一年来的情况。
一、我坚持正确的政治方向，拥护党的领导。认真学习邓小平理论、党的十五大报告、《第三次全国教育会议精神》、江总书记的“三个代表”理论，不断加强自身的政治理论修养。热爱教育事业，积极贯彻党的教育方针，认真学习全教会精神。严格遵守《中小学教师职业道德规范》、《中小学教师日常行为规范》，把热爱教育事业，热爱学生的职业道德融为一体，努力完成教书和育人的双重任务。
二、我平时加强理论学习。理论来源于实践，然而实践离不开理论的指导。今年我继续加强教育理论学习，相继学习了《课堂教学论》、《现代教育技术》，常去翻阅《中学教学研究》、《数学教育学》等书籍，学习教育家的教育理论。经过学习，我对教学方法更加重视和讲究，注意发挥学生的主体性，发动学生主体积极参与教学过程，探讨启发式教学的有效形式，以
“问题”作为数学的教学起点，顺应学生的思维方式进行教学。尽管如此，理论水平还远远不够，以后我更要加强理论学习和理论研究。
在教学活动的设计中，发觉以概念作为教学的起点的方法，与数学思维活动的顺序相反，丝毫引不起学生的学习数学的兴趣。因此在教学中采用多种形式的教学，提高学生学习数学的兴趣。
三、我能遵守学校的各项规章制度，积极参加学校组织的各项活动。踏踏实实、认认真真地搞好日常教学工作的环节：精心备课，认真上课，仔细批改作业，并认真评讲，积 极做好课外辅导和补差工作。
在教学工作中，我能积极贯彻素质教育方针，把提高素质，发展能力放在首位。因为我们的学生底子较差，课前、课后、课上的效率都不太高，针对这种情况，课堂教学我采用多种教学形式，尽量的将一些枯燥无味的东西讲得形象生动一些，提高他们学习数学的兴趣。最高兴的就是听到学生说他现在开绐对数学有兴趣了。
四、几点反思
很遗撼的是：这一年我们班的成绩上升得不快。我对此分析出几点原因：
（1）由于底子薄，而我有时上课选的例题难度系数比较大，他们难以接受；
（2）难度大了，就忽略了基础知识的掌握，所以学生学得不够踏实。（3）虽然改了以往的只讲思路，不讲过程的情况，上课能够将详细的解题过程写出，但学生在听课时只顾着做笔记，没有听讲解方法，以至于思想方法不理解，就不能举一反三了。（4）学生对教师的依赖性太大，动手能力差，遇到问题不去思考，不去分析，更别谈进行逻缉推理。（5）自觉性不高，课后练习不能保质保量的完成，有时还出现抄袭现象。
针对这个现象，我决定对于个别学生，特别是很多数学底子很薄弱的学生，不能指望他们能在高考中拿到后面的提高分，只要能够将基础的70%就够了，所以我决定从最基础的知识下手，每天做几道最简单的题，巩固基础知识。
同时我还认识到我有以下不足：①作为一名党员，没能发挥其应该发挥的带头作用；②自己的教育教学理论知识很缺乏；③ 对于“一专多能”的目标还相差很远。
这是我对一年来教学的总结，也是我的一些心得和体会，在以后的教学中我会加倍努力，加强自己的专业知识，扩充自己的知识面，完善知识结构，改正自己在教学上的错误方法，努力探索，争做一名优秀的人民教师。
20xx-12-17
篇三：高二数学教师工作总结
高二数学教师工作总结
南江四中刘庆友
在本学期，我教授的是高二（2）（5）两个班级，人数共有122人。现就本学期的工作作了以下总结，以便今后工作能做得更好。
一、积极参与学校活动，提高思想觉悟
在学校参加各种培训，不断更新自己的知识，遵守学校各种规章制度，积极主动参加各级的教育活动，加强师德修养，严格约束自己，做好教书育人，因材施教工作，做到为人师表，服从领导安排，注意与同事、学生搞好团结，创建好和谐的课堂教学环境。对学生既严格要求又尊重学生，使学生学有所得。同时不断提高自己的教学水平和思想觉悟，注意提高自己的学术水平，用学得的理论和工作经验作为指导自己的教育教学工作，并且在日常工作中虚心向取得成功的老师学习经验。
二、提升教学质量，提高课堂教学效果
在教学工作既是一项常规工作又是一项具有创新的，永无止境的工作。社会在不断地发展，时代在不断地前进，学生的特点和存在的问题也在不断发生着变化。为了适应不断发展地需要，教材也在不断变化，教学内容在不断更新，这也给老师提出了教学方法要适应时代的发展，自己的知识结构要更新才能适应时代的要求。首先除了坚持参加学校举办的校本培训外，还利用大量的业余时间自觉学习了解新课程的教育理念，并利用课余进行教学反思，写好教学总结。 其次，了解，分析和研究学生情况，有针对性和有效性地教学，对教学成功与否至关重要。为此，我在开学初，针对本班学生的学习实际情况，制定教学计划。最初接触先了解学生学习接受能力的情况，专心研究书本，教材，课标要求，想方设法令课堂生动，学生更容易接受。但一开始，工作进行得并不，认为教学效果如期理想，怎知课后调查出来才知道不如人意。后来听同学们反应，才知道我课堂讲的大部分同学听懂了，但作业不做不出来。而教学的部分内容同学们以前从来未接触过，授课采用高中常见的教学方式，同学们还不能适应，让学生在课堂上练习和指导的量较少，加大学生的学习难度和压力。所以照顾不到整体，而我班的同学比较活跃，学习欠自律性，优良生比例不大，备课时有时候会忽略到这点，因此教学效果不是很理想。从此可以看出，了解及分析学生实际情况，实事求是，具体问题具体分析，做到因材施教，对授课效果有直接影响。这就是教育学中提到的“备教法的同时要备学生”。这一理论在我的教学实践中得到了验证。同时，注重要在课堂教学中始终坚持“教师主导、学生主体、教学为主线”的愉快式教学，讲究讲练有机结合，尤其是要注重在课堂教学中充分给学生时间进行自主、合作、探究学习，给学生机会让学生自己提出问题，自己想办法解决问题，自己找伙伴搭档，注重培养学生养成学习数学正确学习习惯，同时积极做好学习特困生的工作，用发展的眼光看学习特困生，不歧视、冷淡，做到“真诚、耐心”，允许他们学新知时暂时听不懂，给他们一个接受知识的过程，尽最大限度保护他们学习自尊心和求知兴趣。当然我觉得自己作得还相当不够，还会在这方面继续努力，让高二年级的学生能在数学兴趣中显出自信。
由于在整个学校规范的教学行为带动下，我基本上能作到因材施教，及时发现、研究、反思和解决教学工作中的新情况、新问题，从而在教学上取得点滴的成绩，在本学期中，成绩较以往还是比较理想的,为了让学生的成绩能逐步提升成绩，努力抓好后进生，面对学生取得的优异的成绩，我觉得是对我也是一种鼓舞和推动，让我对自己更有信心，对我所喜爱的教育事业更有一份执着。
三、紧抓自己的教学常规工作，培养学生良好数学学习惯
课前准备：备好课。备教材备课标。认真钻研课程标准和教材，对教材的基本思想、基本概念吃透，了解教材的结构，重点与难点，掌握知识的逻辑，能运用自如，知道应如何处理教材和补充哪些资料，才能教好。备学生，了解学生原有的知识技能的质量，他们的兴趣、需要、方法、习惯，学习新知识可能会有哪些困难，采取相应的预防措施。备教法，考虑教法，解决如何把已掌握的教材传授给学生，包括如何组织教材、如何安排每节课的活动。本学期结合以前的教学，采用培养学生的自学能力和探究能力为主，安排好课时，积极探索能够提高学生成绩的更好的方法。组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的注意力，创造良好的课堂气氛，布置好家庭作业，作业少而精，减轻学生的负担。积极参与听课、评课，虚心向同行学习教学方法。
平时的教学工作，注重从学生的基础抓起即概念开始，先进行,然后通过多练习,多讨论,多交流。在这些实施过程中，做到作业定期的抽查和检查，断绝一些学生侥幸的写作业心理， 写作业与老师查或不查挂钩；日常单元测试狠抓不懈，每天家庭作业亲自检查，使学生形成一个良好的数学学习习惯。
四、渗透好德育，创建和谐的教学环境
利用平时课堂教学不断渗透德育教育工作，培养学生的良好的学习习惯。想让学生切实按照老师的要求去做，就必须在思想上和习惯让他们做到,有了好习惯，很多事情学生会自主去解决。在这方面，我主要做法：先由学生自己总结出错的原因和意图，考虑到对别人产生怎样的影响，同时注意阳光语言的使用。教会学生在活动中锻炼自己，通过活动锻炼学生的创新能力和合作能力。这样，使学生端正思想，增强了坚决克服困难的决心。对于个别同学的思想有问题的，采取引导和宽容，适当的批评相结合，使之不断进步。在思想上，热爱学生，公平和平等的对待每一个学生，让他们都感受到老师的关心，良好的师生关系促进了学生的学习。
总之，当今社会对教师的素质要求不断提高，在教育教学工作中，需更严格要求自己，从多方面 加强不断提高自己的教育教学工作素质，在工作中不断发扬优点，避开缺点，开拓前进，不断地奉献自己的力量。一份耕耘，一份收获，相信自己和学生不断在提高，不断发现新的方法。
小学数学知识点总结
小学数学知识点总结
1
归一问题
【含义】
在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】
总量份数=1份数量
1份数量所占份数=所求几份的数量
另一总量(总量份数)=所求份数
【解题思路和方法】
先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1
买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?
解
(1)买1支铅笔多少钱?0.65=0.12(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)
列成综合算式0.6516=0.1216=1.92(元)
答：需要1.92元。
例2
3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?
解
(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?9033=10(公顷)
(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?1056=300(公顷)
列成综合算式903356=1030=300(公顷)
答：5台拖拉机6天耕地300公顷。
例3
5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次?
解
(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?10054=5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?57=35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?10535=3(次)
列成综合算式105(100547)=3(次)
答：需要运3次。
2
归总问题
【含义】
解题时，常常先找出总数量，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓总数量是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】
1份数量份数=总量
总量1份数量=份数
总量另一份数=另一每份数量
【解题思路和方法】
先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1
服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套?
解
(1)这批布总共有多少米?3.2791=2531.2(米)
(2)现在可以做多少套?2531.22.8=904(套)
列成综合算式3.27912.8=904(套)
答：现在可以做904套。
例2
小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》?
解
(1)《红岩》这本书总共多少页?2412=288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》?28836=8(天)
列成综合算式241236=8(天)
答：小明8天可以读完《红岩》。
例3
食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天?
解
(1)这批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)
列成综合算式5030(50+10)=150060=25(天)
答：这批蔬菜可以吃25天。
3
和差问题
【含义】
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】
大数=(和+差)2
小数=(和-差)2
【解题思路和方法】
简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
例1
甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?
解
甲班人数=(98+6)2=52(人)
乙班人数=(98-6)2=46(人)
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2
长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
解
长=(18+2)2=10(厘米)
宽=(18-2)2=8(厘米)
长方形的面积=108=80(平方厘米)
答：长方形的面积为80平方厘米。
例3
有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解
甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量=(22+2)2=12(千克)
丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)
乙袋化肥重量=32-12=20(千克)
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐?
解
从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(142+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+142+3)2=64(筐)
乙车筐数=97-64=33(筐)
答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
4
和倍问题
【含义】
已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】
总和(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?248(3+1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?623=186(棵)
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
例2
东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨?
解
(1)西库存粮数=480(1.4+1)=200(吨)
(2)东库存粮数=480-200=280(吨)
答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3
甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?
解
每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
(52+32)(2+1)=28(辆)
所求天数为(52-28)(28-24)=6(天)
答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4
甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少?
解
乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍;
又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍;
这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，
甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28
乙数=282-4=52
丙数=283+6=90
答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
5
差倍问题
【含义】
已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】
两个数的差(几倍-1)=较小的数
较小的数几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?124(3-1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?623=186(棵)
答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
例2
爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁?
解
(1)儿子年龄=27(4-1)=9(岁)
(2)爸爸年龄=94=36(岁)
答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3
商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元?
解
如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此
上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)
本月盈利=18+30=48(万元)
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4
粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?
解
由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此
剩下的小麦数量=(138-94)(3-1)=22(吨)
运出的小麦数量=94-22=72(吨)
运粮的天数=729=8(天)
答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6
倍比问题
【含义】
有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】
总量一个数量=倍数
另一个数量倍数=另一总量
【解题思路和方法】
先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1
100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?
解
(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)
列成综合算式40(3700100)=1480(千克)
答：可以榨油1480千克。
例2
今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?
解
(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)
(2)共植树多少棵?400160=64000(棵)
列成综合算式400(48000300)=64000(棵)
答：全县48000名师生共植树64000棵。
例3
凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?
解
(1)800亩是4亩的几倍?8004=200(倍)
(2)800亩收入多少元?11111200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?16000800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?222220020=44444000(元)
答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。
7
相遇问题
【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】
相遇时间=总路程(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)相遇时间
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1
南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇?
解
392(28+21)=8(小时)
答：经过8小时两船相遇。
例2
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解
第二次相遇可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为4002
相遇时间=(4002)(5+3)=100(秒)
答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解
两人在距中点3千米处相遇是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，
相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)3=84(千米)
答：两地距离是84千米。
8
追及问题
【含义】
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间=追及路程(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)追及时间
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1
好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?
解
(1)劣马先走12天能走多少千米?7512=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)
列成综合算式7512(120-75)=90045=20(天)
答：好马20天能追上劣马。
例2
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40(500200)]秒，所以小亮的速度是
(500-200)[40(500200)]
=300100=3(米)
答：小亮的速度是每秒3米。
例3
我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?
解
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10(22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间=[10(22-6)+60](30-10)
=22020=11(小时)
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4
一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为162(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)
列成综合算式(48+40)[162(48-40)]
=884
=352(千米)
答：甲乙两站的距离是352千米。
9
植树问题
【含义】
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】
线形植树棵数=距离棵距+1
环形植树棵数=距离棵距
方形植树棵数=距离棵距-4
三角形植树棵数=距离棵距-3
面积植树棵数=面积(棵距行距)
【解题思路和方法】
先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1
一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?
解
1362+1=68+1=69(棵)
答：一共要栽69棵垂柳。
例2
一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?
解
4004=100(棵)
答：一共能栽100棵白杨树。
例3
一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?
解
22048-4=110-4=106(个)
答：一共可以安装106个照明灯。
例4
给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?
解
96(0.60.4)=960.24=400(块)
答：至少需要400块地板砖。
例5
一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?
解
(1)桥的一边有多少个电杆?50050+1=11(个)
(2)桥的两边有多少个电杆?112=22(个)
(3)大桥两边可安装多少盏路灯?222=44(盏)
答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10
年龄问题
【含义】
这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住年龄差不变这个特点。
【解题思路和方法】
可以利用差倍问题的解题思路和方法。
例1
爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?
解
355=7(倍)
(35+1)(5+1)=6(倍)
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2
母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?
解
(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)
(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30(4-1)-7=3(年)
列成综合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)
答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例3
甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁。求甲乙现在的岁数各是多少?
解
这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一年 今年 将来某一年
甲 □岁 △岁 61岁
乙 4岁 □岁 △岁
表中两个□表示同一个数，两个△表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为(61-4)3=19(岁)
甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)
乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)
答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11
行船问题
【含义】
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】
(顺水速度+逆水速度)2=船速
(顺水速度-逆水速度)2=水速
顺水速=船速2-逆水速=逆水速+水速2
逆水速=船速2-顺水速=顺水速-水速2
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1
一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?
解
由条件知，顺水速=船速+水速=3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时3208-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320xx=32(小时)
答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2
甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间?
解
由题意得甲船速+水速=36010=36
甲船速-水速=36018=20
可见(36-20)相当于水速的2倍，
所以，水速为每小时(36-20)2=8(千米)
又因为，乙船速-水速=36015，
所以，乙船速为36015+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以，乙船顺水航行360千米需要
36040=9(小时)
答：乙船返回原地需要9小时。
12
列车问题
【含义】
这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】
火车过桥：过桥时间=(车长+桥长)车速
火车追及：追及时间=(甲车长+乙车长+距离)
(甲车速-乙车速)
火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)
(甲车速+乙车速)
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1
一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?
解
火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
(1)火车3分钟行多少米?9003=2700(米)
(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)
列成综合算式9003-2400=300(米)
答：这列火车长300米。
例2
一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米?
解
火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为
8125-200=800(米)
答：大桥的长度是800米。
例3
一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间?
解
从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为
(225+140)(22-17)=73(秒)
答：需要73秒。
例4
一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间?
解
如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
150(22+3)=6(秒)
答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
13
时钟问题
【含义】
就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】
分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】
变通为追及问题后可以直接利用公式。
例1
从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?
解
钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以
分针追上时针的时间为20(1-1/12)22(分)
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2
四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?
解
钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(54)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(54-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(54+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。
(54-15)(1-1/12)6(分)
(54+15)(1-1/12)38(分)
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3
六点与七点之间什么时候时针与分针重合?
解
六点整的时候，分针在时针后(56)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
(56)(1-1/12)33(分)
答：6点33分的时候分针与时针重合。
14
盈亏问题
【含义】
根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】
一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数=(盈+亏)分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数=(大盈-小盈)分配差
参加分配总人数=(大亏-小亏)分配差
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1
给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?
解
按照参加分配的总人数=(盈+亏)分配差的数量关系：
(1)有小朋友多少人?(11+1)(4-3)=12(人)
(2)有多少个苹果?312+11=47(个)
答：有小朋友12人，有47个苹果。
例2
修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?
解
题中原定完成任务的天数，就相当于参加分配的总人数，按照参加分配的总人数=(大亏-小亏)分配差的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
(2608-3004)(300-260)=22(天)
这条路全长为300(22+4)=7800(米)
答：这条路全长7800米。
例3
学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?
解
本题中的车辆数就相当于参加分配的总人数，于是就有
(1)有多少车?(30-0)(45-40)=6(辆)
(2)有多少人?406+30=270(人)
答：有6辆车，有270人。
15
工程问题
【含义】
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出一项工程、一块土地、一条水渠、一件工作等，在解题时，常常用单位1表示工作总量。
【数量关系】
解答工程问题的关键是把工作总量看作1，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率工作时间
工作时间=工作量工作效率
工作时间=总工作量(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】
变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1
一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?
解
题中的一项工程是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位1。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)
答：两队合做需要6天完成。
例2
一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?
解一
设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1(1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24[1(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7(1/6-1/8)=168(个)
答：这批零件共有168个。
解二
上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以，这批零件共有241/7=168(个)
例3
一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?
解
必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
6012=56010=66015=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
(60-52)(6+4)=5(小时)
答：还需要5小时才能完成。
例4
一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?
解：
注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(145)，2个进水管15小时注水量为(1215)，从而可知
每小时的排水量为(1215-145)(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为145-15=15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为12，
所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管?(15+12)(12)
=8.59(个)
答：至少需要9个进水管。
16
正反比例问题
【含义】
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】
解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1
修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?
解
由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300(4-3)12=3600(米)
答：这条公路总长3600米。
例2
张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题?
解
做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
28X=914X=91428X=13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3
孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完?
解
书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有24∶36=X∶15
36X=2415X=10
答：10天就可以看完。
17
按比例分配问题
【含义】
所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】
从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和
【解题思路和方法】
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1
学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?
解
总份数为47+48+45=140
一班植树56047/140=188(棵)
二班植树56048/140=192(棵)
三班植树56045/140=180(棵)
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2
用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?
解
3+4+5=12603/12=15(厘米)
604/12=20(厘米)
605/12=25(厘米)
答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3
从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解
如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=17179/17=9
176/17=6172/17=2
答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
例4
某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人?
解
80(12-8)(8+12+21)=820(人)
答：三个车间一共820人。
18
百分数问题
【含义】
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示率，也可以表示量，而百分数只能表示率;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号%。
在实际中和常用到百分点这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
【数量关系】
掌握百分数、标准量比较量三者之间的数量关系：
百分数=比较量标准量
标准量=比较量百分数
【解题思路和方法】
一般有三种基本类型：
(1)求一个数是另一个数的百分之几;
(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;
(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
例1
仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?
解
(1)用去的占720(720+6480)=10%
(2)剩下的占6480(720+6480)=90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2
红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几?
解
本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)525=0.2=20%
或者1-420525=0.2=20%
答：男职工人数比女职工少20%。
例3
红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几?
解
本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
(525-420)420=0.25=25%
或者525420-1=0.25=25%
答：女职工人数比男职工多25%。
例4
红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?
解
(1)男职工占420(420+525)=0.444=44.4%
(2)女职工占525(420+525)=0.556=55.6%
答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
19
牛吃草问题
【含义】
牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】
草总量=原有草量+草每天生长量天数
【解题思路和方法】
解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1
一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?
解
草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量天数。求多少头牛5天可以把草吃完，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
(1)求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(11020);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
11020=原有草量+20天内生长量
同理11510=原有草量+10天内生长量
由此可知(20-10)天内草的生长量为
11020-11510=50
因此，草每天的生长量为50(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=11510-510=100
(3)求5天内草总量
5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+55=125
(4)求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数1255=25(头)
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2
一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘
水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?
解
这是一道变相的牛吃草问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于牛数)，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
(1)求每小时进水量
因为，3小时内的总水量=1123=原有水量+3小时进水量
10小时内的总水量=1510=原有水量+10小时进水量
所以，(10-3)小时内的进水量为1510-1123=14
因此，每小时的进水量为14(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1123-3小时进水量=36-23=30
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是
30(17-2)=2(小时)
答：17人2小时可以淘完水。
20
鸡兔同笼问题
【含义】
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】
第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数=(实际脚数-2鸡兔总数)(4-2)
假设全都是兔，则有
鸡数=(4鸡兔总数-实际脚数)(4-2)
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数=(2鸡兔总数-鸡与兔脚之差)(4+2)
假设全都是兔，则有
鸡数=(4鸡兔总数+鸡与兔脚之差)(4+2)
【解题思路和方法】
解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
例1
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?
解
假设35只全为兔，则
鸡数=(435-94)(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数=(94-235)(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)
答：有鸡23只，有兔12只。
例2
2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?
解
此题实际上是改头换面的鸡兔同笼问题。每亩菠菜施肥(12)千克与每只鸡有两个脚相对应，每亩白菜施肥(35)千克与每只兔有4只脚相对应，16亩与鸡兔总数相对应，9千克与鸡兔总脚数相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数=(9-1216)(35-12)=10(亩)
答：白菜地有10亩。
例3
李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?
解
此题可以变通为鸡兔同笼问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4
(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?
解
假设100只全都是鸡，则有
兔数=(2100-80)(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答：有鸡80只，有兔20只。
例5
有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?
解
假设全为大和尚，则共吃馍(3100)个，比实际多吃(3100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以小换大，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚
(3100-100)(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21
方阵问题
【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=(每边人数-1)4
每边人数=四周人数4+1
(2)方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数每边人数
空心方阵：总人数=(外边人数)?-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=(每边人数-层数)层数4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1
在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?
解
2222=484(人)
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2
有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解
10-(10-32)?
=84(人)
答：全方阵84人。
例3
有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人?
解
(1)中空方阵外层每边人数=524+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=284-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=1414-66=160(人)
答：这队学生共160人。
例4
一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?
解
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)2=7(只)
(3)原有棋子数=77-9=40(只)
答：棋子有40只。
例5
有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?
解
第一种方法：1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法：(5+1)52=15(棵)
答：这个三角形树林一共有15棵树。
化学知识点总结
化学知识点总结
1，掌握一图(原子结构示意图)、五式(分子式、结构式、结构简式、电子式、最简式)、六方程(化学方程式、电离方程式、水解方程式、离子方程式、电极方程式、热化学方程式)的正确书写。
2，最简式相同的有机物：
①CH：C2H2和C6H6
②CH2：烯烃和环烷烃
③CH2O：甲醛、乙酸、甲酸甲酯
④CnH2nO：饱和一元醛(或饱和一元酮)与二倍于其碳原子数和饱和一元羧酸或酯;举一例：乙醛(C2H4O)与丁酸及其异构体(C4H8O2)
3、一般原子的原子核是由质子和中子构成，但氕原子(1H)中无中子。
4、元素周期表中的每个周期不一定从金属元素开始，如第一周期是从氢元素开始。
5、ⅢB所含的元素种类最多。碳元素形成的化合物种类最多，且ⅣA族中元素组成的晶体常常属于原子晶体，如金刚石、晶体硅、二氧化硅、碳化硅等。
6、质量数相同的原子，不一定属于同种元素的原子，如18O与18F、40K与40Ca
7，ⅣA~ⅦA族中只有ⅦA族元素没有同素异形体，且其单质不能与氧气直接化合。
8、活泼金属与活泼非金属一般形成离子化合物，但AlCl3却是共价化合物(熔沸点很低，易升华，为双聚分子，所有原子都达到了最外层为8个电子的稳定结构)。
9、一般元素性质越活泼，其单质的性质也活泼，但N和p相反，因为N2形成叁键。
10、非金属元素之间一般形成共价化合物，但NH4Cl、NH4NO3等铵盐却是离子化合物。
11、离子化合物在一般条件下不存在单个分子，但在气态时却是以单个分子存在。如NaCl。
12、含有非极性键的化合物不一定都是共价化合物，如Na2O2、FeS2、CaC2等是离子化合物。
13、单质分子不一定是非极性分子，如O3是极性分子。
14、一般氢化物中氢为+1价，但在金属氢化物中氢为-1价，如NaH、CaH2等。
15、非金属单质一般不导电，但石墨可以导电，硅是半导体。
16、非金属氧化物一般为酸性氧化物，但CO、NO等不是酸性氧化物，而属于不成盐氧化物。
17、酸性氧化物不一定与水反应：如SiO2。
18、金属氧化物一般为碱性氧化物，但一些高价金属的氧化物反而是酸性氧化物，如：Mn2O7、CrO3等反而属于酸性氧物，2KOH+Mn2O7==2KMnO4+H2O。
19、非金属元素的最高正价和它的负价绝对值之和等于8，但氟无正价，氧在OF2中为+2价。
20、含有阳离子的晶体不一定都含有阴离子，如金属晶体中有金属阳离子而无阴离子。
21、离子晶体不一定只含有离子键，如NaOH、Na2O2、NH4Cl、CH3COONa等中还含有共价键。
22，稀有气体原子的电子层结构一定是稳定结构，其余原子的电子层结构一定不是稳定结构。
23，离子的电子层结构一定是稳定结构。
24，阳离子的半径一定小于对应原子的半径，阴离子的半径一定大于对应原子的半径。
25，一种原子形成的高价阳离子的半径一定小于它的低价阳离子的半径。如Fe3+Fe2+。
26，同种原子间的共价键一定是非极性键，不同原子间的共价键一定是极性键。
27，分子内一定不含有离子键。题目中有分子一词，该物质必为分子晶体。
28，单质分子中一定不含有极性键。
29，共价化合物中一定不含有离子键。
30，含有离子键的化合物一定是离子化合物，形成的晶体一定是离子晶体。
31，含有分子的晶体一定是分子晶体，其余晶体中一定无分子。
32，单质晶体一定不会是离子晶体。
33，化合物形成的晶体一定不是金属晶体。
34，分子间力一定含在分子晶体内，其余晶体一定不存在分子间力(除石墨外)。
35，对于双原子分子，键有极性，分子一定有极性(极性分子);键无极性，分子一定无极性(非极性分子)。
36、氢键也属于分子间的一种相互作用，它只影响分子晶体的熔沸点，对分子稳定性无影响。
37，微粒不一定都指原子，它还可能是分子，阴、阳离子、基团(如羟基、硝基等)。例如，具有10e-的微粒：Ne;O2-、F-、Na+、Mg2+、Al3+;OH-H3O+、CH4、NH3、H2O、HF。
38，失电子难的原子获得电子的能力不一定都强，如碳，稀有气体等。
39，原子的最外电子层有2个电子的元素不一定是ⅡA族元素，如He、副族元素等。
40，原子的最外电子层有1个电子的元素不一定是ⅠA族元素，如Cr、ⅠB族元素等。
41，ⅠA族元素不一定是碱金属元素，还有氢元素。
42，由长、短周期元素组成的族不一定是主族，还有0族。
43，分子内不一定都有化学键，如稀有气体为单原子分子，无化学键。
44，共价化合物中可能含非极性键，如过氧化氢、乙炔等。
45，含有非极性键的化合物不一定是共价化合物，如过氧化钠、二硫化亚铁、乙酸钠、CaC2等是离子化合物。
46，对于多原子分子，键有极性，分子不一定有极性，如二氧化碳、甲烷等是非极性分子。
47，含有阳离子的晶体不一定是离子晶体，如金属晶体。
48，离子化合物不一定都是盐，如Mg3N2、金属碳化物(CaC2)等是离子化合物，但不是盐。
49，盐不一定都是离子化合物，如氯化铝、溴化铝等是共价化合物。
50，固体不一定都是晶体，如玻璃是非晶态物质，再如塑料、橡胶等。
高中数学教师研修总结
高中数学教师研修总结
这个学期我很荣幸地参加了高中数学教师研修，研修的内容丰富多彩，研修的方式多种多样，既有专家的报告，又有学科带头人的核心理念，还有实体课的观摩研讨。为期五天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都能面对不同风格的讲师，每天都能感受到思想火花的冲击。在研修中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。作为一名青年教师，我深知自己在教学上有待改进，但是，经过一段时间的学习，我感觉自己受益匪浅。一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新。
首先，在研修过程中，我深刻认识到以往满堂灌的教学方式固然错误，但随着不断提倡教学改革的今天，教师似乎又走入了让学生过度研讨的误区。有的教师在大多数课中，将大部分时间或全部时间让学生探究或做题或上台讲演，这样的做法并不正确。课堂不应该拘泥于一种形式，纯讲授或纯探究，而应该因课制宜，该以讲授为主的就讲授，以探究为主的就探究，还可以多种教学手段同时使用。所以在不断推行教育改革的今天，总是探究的教育理念也片面化了。
其次，在鲜活的教学案例中，我学到了不少的教学经验。关于选修1-2和2-2中一些课的教学素材的选取，我有了进一步的理解。对于不同层次的学生，有不同的教授方法，书上的素材不一定非讲不可，总之适合学生的素材才是最好的，而非教材上的是必选的。
最后，在教学中要努力实现三个转变：（1）教师学生观的转变。做到用学生的心看待一切，不歧视学生，多赏识学生，达到班上没有差生，只有差异。（2）教师角色的转变。教学过程中，老师是学生的朋友，是学习活动的组织者、引导者，而不是统治者、长官。教学过程是师生平等对话的过程，是师生双方交往共同发展的互动过程。（3）教学方式的转变。教师课堂上教学过程是师生互动过程，学生学习过程不仅要用脑子想而且要用眼睛看，用耳朵听，用嘴说，用手操作。即用自己的亲身经历、用自己的心灵去感悟，教师要积极参与学生的学习过程。学生才能无拘无束的置身于其中，尝试学习，享受学习的乐趣。课堂才能焕发无限的生命力，学生思维活跃，热情高涨，真正成为了学习的主人、课堂的主角。（4）在教学过程中做到：给学生一些权利，让他们自己去选择。给学生一些机会，让他们自己去体验。给学生一点困难，让他们自己去解决。给学生一个问题，让他们自己去找答案。给学生一片空间，让他们自己向前走。
总之，这次研修我学到了很多实践知识。今后我在面对新课程中，会确定更高层次的教学目标。对于教学课而言，不能光是知识的传授，而是包括知识与技能、思考、解决问题、情感与态度等几个方面。那种追求能够教好一节课或教出了几个能考高分的学生为目的的教学已经不符合课改精神了。教会学生知识，教给学生方法，教给学生独立和生存的能力将会成为我的职业追求。
第二篇：高中数学教师研修总结
经过这次的阶段性培训和聆听专家的讲解，我对新课改教学有了一个较系统和认识。基本适应了新课改的要求，以后教学中要进一步完善实现新课改的教学理念和教学方式，继续积极探索新形势下新的、更适合学生的教学模式，为今后我校的发展奠定好的基础。
一、转变教学理念。
理念的转变，是适应数学新课改的根本前提。新课程体系要求建立平等和谐的新型师生关系。重结果轻过程是传统数学课堂教学中的弊端。重结果就是教师在教学中只重视教学的结果，甚至让学生去背诵标准答案。重过程就是教师在教学中把教学的重点放在过程上，放在揭示知识形成的规律上，让学生通过感知概括应用的思维过程去掌握知识，掌握规律。地理课程均以学生为本，以促进学生的发展为总目标。重视学习生活中的终生发展有用的知识，满足学生学习与发展的需要，重视培养学生形成正确的数学观念。
新课程改革要求教师以人为本，它突出培养学生的创新和实践能力、收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流协作的能力，发展学生对自然和社会的责任感。另外还要求让每个学生拥有健康的身心，优良的品质和终身学习的愿望与能力，科学和人文素养。养成健康的审美情趣和生活方式。从而实现全体学生的发展，以及学生个体的全面发展。
二、高中数学课程重视探究，注重过程与结果评价的结合
高中数学课程又提出并且倡导自主学习、合作学习和探究学习，重视学生的探究活动，不仅是数学课程而且是这次新一轮课程总体改革的重要理念。还要让学生自己观察、操作、练习、验证、搜寻、思索、判断、分析。这样既可提高学习对学生的吸引力，还能培养学生的实践能力，更能在实践过程中发现问题，进而在解决问题的过程中激发学生的潜能和创造力，有利于学生素质的全面提高。重视反映学生发展状况的过程性评价，实现评价目标多元化、评价手段多样化，强调形成性评价与终结性评价相结合、定性评价与定量评价相结合、反思性评价与鼓励性评价相结合。
三、改变学生的学习方式。
新课程积极倡导自主、合作、探究的学习方式。通过近几年的教学实践，学生的学习方式有了很大的转变，学生的主动学习意识不断增强。
1、培养学生学习的兴趣和自学能力。数学学科的综合性、应用性和实践性为学生自主学习提供了广阔的发展空间。课堂上教师应留给学生一定的时间和空间，将主动权交给学生，让学生主动探究、自主学习。
2、不要让自主变成了放任。只要走进课堂，就会发现：老师把一节课的问题引领呈现出来后，学习通过自主学习，小组合作以及组内、全班展示后，大多问题都可以学习明白，教师再重点进行点拨。这种学习方式，确实有利于提高学生学习数学的积极性和主动性，特别是有利于调动学生的学习兴趣和张扬学生的个性，弥补了传统教学的不足。让学生的自主与教师的引导合而为一，高度统一，相互促进。关键是我们在教学过程中要寻找衡点，做到导放有度。
3、不要让合作停留于形式。我们经常看到课堂上在学生没有充分思考的情况下就进行合作学习的情况，由于学生对教材的理解还不深入，对客观事物的认识也不深刻，这样的合作只能流于形式，只能是为个别优生提供展示的机会，小组合作加工整理的结果与所得也是肤浅的、片面的。指导合作学习时要注意：一是做好合作准备。对每组的学生要教给他们学习方法。另外在小组合作学习之前，教师一定要留给学生充足的独立思考的时间，学生必须对所需要研究的问题有初步的认识和了解，然后再进行小组合作学习。二是明确合作目标。在小组合作之前教师要让学生明确小组合作的目的是什么通过合作要达到什么目标，各小组在合作中担任什么角色、需要完成什么任务，从而有的放矢的让学生进行小组合作学习。
四、教学中利用现代化教学手段提高兴趣。
利用现代化教学手段培养学生创新思维。现代教学手段大大提高了课堂教学效率，激发学生学习地理的兴趣。教师应据一定的教学目标、教学内容和学生的实际、对多媒体素材进行筛选，再进行教学，如可用计算机将静止、枯燥的知识转化成图文并茂的动态知识。
总之，新课标的学习过程也是一个理性和创造的过程，需要每个教育工作者在把握学生学习心理的基础上，对它进行深入的研究到导与放的切入点，真真落实到实践中来。
第三篇：高中数学教师研修总结
20ｘｘ年10月2411月1日，我有幸在省教育厅国培办的推荐和我们学校大力支持下和来自福建的另外三名教师一起参加了由ｘｘ师范大学承办的国培计划（20ｘｘ）高中数学一线优秀教师示范培训，本次培训有来自12个省份的50位一线教师。本次培训紧紧围绕一线优秀教师技能培训这一基本任务，以数学教师课堂教学能力提升为主线，以参与式为主要培训方式，提升数学教师的课堂教学设计能力，课堂教学创新能力，课堂教学实践能力，短暂紧凑的10天培训，领略了高校专家的朴实、严谨、丰厚的数学底蕴、欣赏了国内特级名优教师的灵动丰满的数学报告、折服于同班同学踏实上进的学习特质、陶醉于和谐融洽的同学关系。短短的培训，深深的缘分，远远的发展在路上，甚有一种踏花归来马蹄香的意味！现将培训学习情况汇报如下：
一、专家讲座精彩朴实
本次培训以学科专业技能提升为主旨，听取了11位国培专家的专题讲座，既有中学数学泰斗级的《数学教育学报》副主编、天津师范大学王光明教授，有来人民教育出版社中学数学室主任、课程教材研究所研究员、《普通高中课程标准实验教科书数学》副主编章建跃教授，数学教学科研专家张生春教授，也有中学教研型专家知名特级教师连春兴、刘贵老师，有教学一线的衡水中学数学教科室主任褚艳春主任，还有学校教育管理方面的引领者石家庄一中校长、全国知名的课改专家娄延国博士、衡水中学分管德育的郗会所副校长、邯郸一中高三年级主任秦喆特级教师。
每一位专家、名优老师专业精湛，各有特色，各展风采。特别是王光明教授朴实、严谨学术特质，丰厚的数学底蕴让学员们心生敬意，他从刚参加完的新课标修订会给我们传达了新课标的主要精神将聚焦数学素养，要求学生逐步学会用数学的眼光看世界，以后高考的改革方向分3个层次：高中学业水平、高考水平、拓展水平，要求学生也要学会搞课题，学生也要撰写开题报告，另外他认为好的论文应该具备六有特征：有题而研（有研究的问题）、有基而研（有好的文献平台）；有理而研（关键概念界定清晰、理论框架要清晰）、有据而研（恰当的研究方法）、有思而述（新观点、思想、新认识）、有为而写（建议有推广价值）；连春兴老师从自己的工作经历，向我们叙说了从一名普通中学的老师到名校教师，直至成为全国知名特级教师过往历程，他的成名之道就是写作，他认为写作对教师成长有五大好处：写作能促进教师对教法的反思、写作能促进教师对教材的反思、写作能促进教师对技能成因的反思、写作能促进教师对易混问题的反思、写作有助于对学生认知基础的分析，对所授内容间逻辑关系的把握，对学生思维过程的合理预设，对教学目标达成的评估等。
章建跃教授作了题为《数学学习与智慧发展》的专题报告，既有高屋建瓴的顶层设计和理论指导，又有对具体典型案例的剖析和设计，让全体学员经历了一次头脑风暴的冲击，深深感受到了高中数学课程改革的必要性以及对高中教师专业能力提高的迫切性；张生春教授从传统的听评课与基于证据的听评课的案例、基于证据的听评课、如何开发工具三个方面具体阐述，并结合我们高中教学实际给出了具体真正意义上的其于证据的听评课做法；刘贵老师对数学高考、数学竞赛的独到见解、精辟领悟让人折服，也让我们感受了他对数学编题、解题的巧妙与灵动；秦喆老师作为一个年级部主任从如何关爱学生开设了题为《成就学生，做最优秀的自己 ！》专题讲座，他认为好父母都是学出来的，好孩子都是教出来的，好习惯都是养出来的，好成绩都是帮出来的，好沟通都是听出来的，好成绩是夸出来的，让我启发很大。当然，本次培训汇聚着各地优秀的学员，其出彩的课堂教学，丰满的数学讲座，娴熟的教学技术让学员们深受启发。
二、研讨交流充分有效
为了让全国各地学员有充分的交流和借鉴，本次培训还开展了以高中数学有效教学策略研讨和校本研修的组织与实施为主题的两次主题研讨，并分别到石家庄一中和衡水中学进行了两节课同课异构教学交流。两次主题研讨中各小组讨论充分，能围绕主题主动交流自己学校的做法，提出各自的见解，在校本研修的组织与实施主题研讨中，华师大附中周珂老师作为国内一流学校代表做了《兼收并蓄百花齐放》的主题发言，为了衬托他们的高、大、上，我作为山区县级学校代表做了《名师引领联动研修》的主题发言，主要介绍了我们学校成立名师工作室的做法和主要职责及职能，也引起了有类似情况学校教师的共鸣。另外为横向比较应试教育和素质教育的不同课堂表现，我们选派了素质教育贯彻得比较好的上海青浦中学一位女教师与我们认为应试教育重灾区衡水中学进行同课异构，发挥了全班同学的智慧打造了一节公开课和衡水中学的刘志云老师pK，总体而言，我们并没有感受到这两种课堂的明显差异，没有看到到我们原来想象中应试教育的课堂场景，整个课堂气氛活跃，学生回答问题和思考都积极主动，不做作，不作秀，课堂朴实但高效。
三、实地考察收获满满
为近距离感受名校的教改与校本研修的实施，国培办特别安排了我们在石家庄一中和衡水中学进行了为期两天的学习考察，其中石家庄一中呆了半天，衡水中学足足呆了一天半。两天的实地考察，让我们近距离感受到了ｘｘ省两所名校的校园文化和学校的精细管理，特别值得一提的是在衡水中学所见所闻给我的震撼：
1.视觉震撼
清北街。还不到校门，就看到道路两旁墙壁上的宣传榜，一张张学生的照片，全是20ｘｘ年的清华北大录取的学生，几乎占了老校区旁边的整条街，被当地人称为清北街。今年有119名学生被清华北大录取，17名考入香港大学等港校，72名学生被英国帝国理工学院，加拿大多伦多大学等国外名校录取。这种街道也许只有衡水才有，这种成绩着实让人震撼。
校园文化和班级文化。每个学校都有自己的文化建设，但是衡水中学的整个校园处处充满了文化建设，处处是文化教育的展台。路边的石头上刻着仁义礼智信，教学楼上刻着周恩来的为中华之崛起而读书，广场上刻着弟子规，宣传栏里是优秀学生的照片，能够建设橱窗的地方都竖起了不锈钢制造的漂亮的橱窗，里面的内容：激励、活动、感恩、优秀教师介绍、上级表彰、高考光荣榜、状元宣传照、学生话语、班级励志口号、班级门口的竞争口号在这个学校里处处都是文化，学生想不看都不行。教学楼旁边竖立的ｘｘ省高考状元、榜眼的图像天天在激励着他们，教学楼内的博士校友天天在鼓励着他们。教室门口是每个班的文化建设，班训，班级目标，优秀试卷，优秀作业，格言警句，班级挑战书 每一个到过衡中的人，都会被弥漫在校园中的这种看不见的东西所感染，所震撼。
不可思议的跑操。衡水中学的早操和课间操真的是用语言无法言表。早晨5点30分学生起床后，只见宿舍楼里面开始蜂拥走出学生，出楼之后学生马上开始跑步前进。我看到他们的手里都还拿着一些东西，走近了一看，原来学生拿着卷子、书本以及各种手抄的资料。只见他们走到跑道上站好了就开始背书，一会儿跑道上的人越来越多，无一例外，都是到了操场就开始背书----原来他们是利用跑操前的一点时间在背书，真的是点滴时间都不浪费。队伍站好了，一声哨令，开始跑操，所有人紧贴着，间距很小，后面的人跑得脚正好插在前面同学的抬起的脚跟下面，步调完全一致，没有任何人跑错脚步。实际上只要一个人跑错了，这一排人都会倒下，但是跑得并不慢。班级之间的间距不变，绝对没有停下的现象。学生的口号震耳欲聋，而且都是励志的口号，并不是简单的1234，努力奋斗、拼搏进取、永争第一、舍我其谁等等的口号比比皆是。
自习、午休静悄悄。衡水中学老校区的校舍呈回字形，晚自习上课铃响10秒钟不到，整幢大楼没有任何的吵闹声，我们当时在场的50多位参观老师都觉得不可思议，但却真实展现在我们面前。自习课更是听不到、也看不到有学生在讨论、闲聊、打闹现象，所有学生都专心的做自己的事情。中午12点45分午休时间一到，整个宿舍区也如无人一般。
校园行人急。在校园里走的学生老师大都快步如飞，没人慢腾腾的走路，不像我们的学生天天在校园里像逛街一样。而且学生的手里要么拿着各种学习资料，要么空着手，可是我们的学生手里拿着的是饮料瓶、雪糕、点心。
2.制度震撼
衡中的管理制度非常严厉：学生全部寄宿学校，所有学生回家只准带牛奶、香蕉、苹果、桔子和饼干类点心，其他的不准带，否则回家一个周接受家长再教育；不准在食堂和宿舍以外的任何地方吃东西，否则回家一个周；不准带手机入校，否则回家一个月；男女同学非正常接触，回家一个月；学生打架，立即开除；学生谈恋爱，立即开除；学生不能跑操要有县级以上医院的证明经过班主任、年级主任、学校教育处干事、教育处主任等人的审核，最后由分管教育处的副校长批准，即便如此也还得到操场读书。若学生要返校，必须学生真正反思好，填写好反思表后，由家长领着学生过四关：一是到班主任处由班主任签字认可反思情况，二是到级部主任处签字，三是到分管校长处签字，四是到教育处盖章。如此严格繁琐的管理程序，肯定让违纪学生望而生畏，也许正是因为这样的管理制度，学生几乎没有违纪的，更不要说各种严重违纪的发生了，在衡中谁要是被处罚接受家长再教育那是很没有面子而且损失很大（七天以上不能听课）的事情，而且在衡中由于任何一个决定不是哪一个人说了算，所以没有情分面子会起到什么作用。据他们的副校长介绍，衡水市的市委书记在公开场合表态，如果介绍一两个学生进衡中没有问题，但如果在衡中因违纪要去说情，门儿都没有。在晚自习参观回来的路上还有一个小插曲，我们离开校园时，但门卫就是不让我们走，说是没有学校安保处的许可，虽然有一个衡中本校的带队老师与门卫交涉也不行。二十几分钟以后，有了安保出的通知，我们才得以离开。管中窥豹，可见一斑。
3.细节震撼
学生常规管理精细。据了解学校实行全封闭管理，所有学生（三个年段，每个年段60个班，每个班级80到100人不等）全部住校，上课时宿舍区和教学区隔绝（上锁）。学校制度、活动非常之多，且都有严格的规范要求。常规检查非常细致。仅从张贴的各种检查表就可看出：有讲科学、行规范、上水平教育实践活动公开栏，内容包括：风采展示台、不良行为曝光台；有男生楼、女生楼检查量化表，检查项目包括卫生、安全、物品排放等40余项，每天检查，每天公布；有学生会联查表、跑操检查公布表、自习和作业检查情况公布表；有《班执勤所查不文明行为汇总单》，记载的内容：跑步就餐、男女共餐、就餐插队、走廊长明灯等。
调研考试安排精细。据了解本学期高三安排了四次调研考试，一次期中考试，高一高二也至少三次调研考试。考试的组织非常严密细致。仅从宣传栏、走廊张贴物等就可略见一斑。调研考试前，对命题范围、题型与分值、考察内容都有明确的命题规定。学校专门制订了《衡水中学试题评价方案》，对试题比例、试题区分度、试题科学性、严密性及试题打印质量等都进行严格的评价。调研考试期间，有一张高三第二次调研考试活动安排表，何时上课、何时就餐、何时自习，精确到某一分钟；还发现有一张调研考试期间临时课程表，安排到每节课、每节自习。每次调研考试结束后工作做得更细，至少做好以下几点：一是评出优秀师徒（实际相当于师生成长共同体，教师评选先进时，学生都帮着给拉票）；二是评出红旗备课组、学科第一（教学业务系列分析评价）；三是评出双优班集体、优秀班主任（管理系列分析评价）；四是评出清华北大希望之星，评出理科状元、文科状元希望之星（尖子生情况分析）；五是对新老校区各段人数进行对比；六是对各学科系列排名变化进行对比；七是对各班成绩变化情况进行对比（以上内容全部在显眼位置张榜公布）.
教学细致。教师讲课非常细致，就是实验班的学生，进行一轮复习也是讲的极其细致，完全不因学生的基础较好而糊弄了事，真的做到了每一个知识点都不漏；教师给学生布置作业，更是分的很细，必做、选作、自助餐，怎么收、怎么批、怎么改、怎么讲都规定的详细的很；课程表安排的细，比如英语课，规定了哪一节是上新授课、听力课、自习课、讲评课，其他学科也是按照学科特点进行了相应的设置。
4. 德育震撼
培养学生坚强的意志。衡水中学从1984年至今，每年对高一学生进行军训，而且每次时间都长达ｘｘ天。除此之外，学校还要对高一新生进行一次80华里的远足活动，他们把这项活动称为砥砺意志的长征。80华里，对于很多孩子来说是一个极大的挑战，但没有人会退缩，也不允许请假。不难想象，有了这样的经历，这样的感悟的学生，对待困难、对待学习、对待未来会是怎样一种态度。
培养师生的竞争意识。衡水中学流传着这样一句口头禅：两眼一睁开始竞争，学生早晨起床ｘｘ分钟穿衣、收拾床铺、洗漱、整理卫生，然后到操场列队出操。这时学校开始检查宿舍卫生情况及早操情况。在这短短的时间里就包含了七个争：争起床速度(但不许提前，否则按违纪论)、争宿舍卫生的质量、争到操场列队的早晚、争早操队列是否整齐、争步伐是否整齐矫健、争口号是否响亮、争精神面貌是否朝气蓬勃。这里面既有速度的竞争又有质量的竞争。学生就在这种竞争之中开始了一天的学习与生活。早操之后，又是一系列的争：学生们跑着进教室，争的是提前进入自习状态，自习时争的是学习效率。学生与学生之间，宿舍与宿舍之间，小组与小组之间，班与班之间，年级与年级之间，凡是学校所提倡的，事事处处时时充满竞争。今天你超我，明天我超你，学生在竞争中不断实践着、诠释着追求卓越的校训。对老师，学校有师德报告会、班主任综合素质大赛、最受学生欢迎老师评选，十佳青年教师希望之星、与模范牵手、与好人同行、每学期全校教师宣誓等活动。对学生学校有一日行为规范、学生学习规范、每日三省十问、星级宿舍创建、每日收看新闻、班级挑战、日行一善，日积一语等常规活动和八十华里远足、十八岁成人礼、十大学星竞选、十佳班长竞选、十佳环保卫士竞选、十佳文明道德模范评选等主题活动。所有这些活动的最终目的是让衡中人达到超越优秀之上的一种至善至真至美的境界，使师生弘扬卓越的精神，造就卓越的品质，追求卓越的业绩，培养卓越的人才形成唯一必争、逢冠必夺、见优必取的意识。
说实话在去衡水中学之前，培训班的大多教师（包括我自已）对衡水中学都是带着抵触和偏见情绪，但学习考察完后，对衡水中学的管理和教学都重新定位，它一定是有过人之处，才能引领全国的高考，造成这么大的轰动！
总之，本次学习培训，不仅拓宽了我的视野，还丰富了我的实践经验，更让我的思想得到了升华，使我对数学教学有了更新的认识。刀不磨要生锈，人不学要落后，在今后的教学工作中，我会继续努力学习，钻研教学业务，我也相信在倾听、反思、实践中，我的教学之路会愈趋成熟，相信会做得更好。
